用向量法证明垂直

用向量法证明垂直学习目标:1掌握用向量法证明立体几何中的线、面垂直关系2认识到向量方法是解决立体几何的基本方法重点：用向量方法讨论空间中的垂直关系难点：将立体几何问题转化为向量问题．lAP１．直线的方向向量一、方向向量与法向量是空间一直线，A、P是直线上任意两点，则称为直线的方向向量lll2、平面的法向量如果直线平面，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量llAPaaal它们都是平行的平面的法向量不唯一，，并且它们都是平行的直线的方向向量不唯一oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为___________(2)平面OABC的一个法向量坐标为___________(3)平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)例2.在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.(4,3,6)n∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n)2,0,3(,043-,),,(ACABACnABnzyxnABC），，（，因为则的一个法向量为解：设平面）是平面的一个法向量，，（所以，634n总结:如何求平面的法向量⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.lm二、用向量讨论垂直关系vubaml,,的法向量分别为、平面和别为的方向向量方向向量分、设直线）（1abmlba0balauABCl）（2ua//uaαβv）（3vu0vuαβuA1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F1111DCBAABCD例3正方体中，E、F分别平面ADE.证明：设正方体棱长为1,建立如图所示坐标系D-xyz，)1,21,0()0,21,0(),1,0,0(),21,1,1(),0,0,0(),0,0,1(11FDFDEDA则)2,1,0(1200210)21,1,1(),0,0,1(0,0,),,,(nyyzxzyxxDEDADEnDAnDEnDAnzyxnADE得取解得则因为则则的一个法向量为设平面ADEFDnFDFDn平面所以可知由111//2A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F1111DCBAABCD例3正方体中，E、F分别平面ADE.证明：设正方体棱长为1,建立如图所示坐标系D-xyz，021)1(1211000)1(02110)21,1,1(),0,0,1(),1,21,0()0,21,0(),1,0,0(),21,1,1(),0,0,0(),0,0,1(1111DEFDDAFDDEDAFDFDEDA则则ADEFDDDEDADEFDDAFDDEFDAFD平面所以又则则11111,,D,例4、在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别为棱AD、PB的中点，PD＝AD.求证：平面CEF⊥平面PBC.证明：以D为原点，直线DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴建立如下图空间直角坐标系．设PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，∴E(12，0,0)，F(12，12，12)，设平面CEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·EF→＝0n·EC→＝0，∵EF→＝(0，12，12)，EC→＝(－12，1,0)，∴12y＋12z＝0－12x＋y＝0，∴z＝－yx＝2y，令y＝1，则n＝(2,1，－1)．设平面PBC的一个法向量u＝(x，y，z)，则u·BC→＝0u·BP→＝0，∵BC→＝(－1,0,0)，BP→＝(－1，－1,1)，∴－x＝0－x－y＋z＝0，∴x＝0y＝z，令z＝1，则u＝(0,1,1)，∵u·n＝0，∴u⊥n，∴平面CEF⊥平面PBC.点评：①证明直线l1与l2垂直时，取l1、l2的方向向量a、b，证明a·b＝0.②证明直线l与平面α垂直时，取α的法向量n，l的方向向量a，证明a∥n.或取平面α内的两相交直线的方向向量a、b与直线l的方向向量e，证明a·e＝0，b·e＝0.③证明平面α与β垂直时，取α、β的法向量n1、n2，证明n1·n2＝0小结：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证；⑤转化为几何结论．拓展：在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E1，12，0，M(1,1，m)．∴AC→＝(－1,1,0)，又E、F分别为AB、BC的中点，∴EF→＝12AC→＝－12，12，0.又∵B1E→＝0，－12，－1，D1M→＝(1,1，m－1)，∵D1M⊥平面FEB1，∴D1M⊥EF且D1M⊥B1E.即D1M→·EF→＝0，且D1M→·B1E→＝0.∴－12＋12＋m－1·0＝00－12＋1－m＝0，∴m＝12.故取B1B的中点M就能满足D1M⊥平面EFB1.