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第17讲三角形与全等三角形考点一三角形的分类按边分：三角形不等边三角形三边互不相等等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形按角分：三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形考点二三角形的性质1．三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3．如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性．4．三角形中的重要直线或线段(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等．(5)中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．温馨提示：三角形边、角之间的关系是三角形的重要性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到.学习时应结合图形，利用数形结合思想.三角形的角平分线、高、中线、中位线均为线段.考点三全等三角形的概念与性质1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角分别相等；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、高、中线、中位线)相等、周长相等、面积相等．考点四全等三角形的判定1．如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS.2．如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS.3．如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA.4．如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS.5．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL.温馨提示：1.判定三角形全等必须有一组对应边相等；2.判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定.考点五角平分线的性质和判定1．角平分线的性质(1)角平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．2．角平分线的表示方法如图，OC平分∠AOB，则(1)∠AOC＝∠BOC；(2)∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC；(3)∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB.考点一三角形的三边关系例1(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2,3，x，则x的值可以为________(只需填一个数)．【点拨】由三角形的三边关系，可得3－2＜x＜3＋2，即1＜x＜5，取此范围内的任意数皆可．【答案】3(答案不唯一，只需大于1且小于5即可)方法总结：已知三角形的两边求第三边或三角形的周长的取值范围，可以根据三角形的三边关系，确定第三边的范围，再确定周长的范围.考点二三角形的内角和与外角例2(2014·怀化)如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，延长BC到D，则∠ACD＝________°.【点拨】由三角形外角的性质，可得∠ACD＝∠A＋∠B＝30°＋50°＝80°.【答案】80方法总结：在三角形中，求外角的度数，可以利用外角的性质将其转化为三角形的内角，然后根据内角和求解.考点三全等三角形的性质与判定例3(2014·南充)如图，AD，BC相交于点O，OA＝OC，∠OBD＝∠ODB.求证：AB＝CD.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质的综合应用．证明：∵∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD.在△AOB与△COD中，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，∴△AOB≌△COD(SAS)．∴AB＝CD.考点四全等三角形的开放性问题例4(2014·牡丹江)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF.请你添加一个条件(只需添加一个即可)，使△ABC≌△DEF.【点拨】因为BE＝CF，所以BC＝EF.又因为AB＝DE，所以考虑两种添加方法：(1)添加AC＝DF，可由“SSS”证明△ABC≌△DEF；(2)添加∠B＝∠DEF，可由“SAS”证明△ABC≌△DEF.【答案】AC＝DF或∠B＝∠DEF方法总结：根据题目给出的条件和图形隐含的条件，考虑能用哪种方法证明，再看缺少的条件，添加即可.考点五角平分线的性质的应用例5(2014·遂宁)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．3B．4C．6D．5【点拨】如图，过点D作DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DF＝DE＝2，△ABD的面积为12×DE×AB＝4，又∵△ABC的面积为7，∴△DAC的面积为3，∴12×DF×AC＝3，则AC＝3，故选A.【答案】A方法总结：题目中若有角平分线这一条件，常考虑作垂线，利用角平分线的性质证明线段相等或求角度问题.1．下面三根木条能组成三角形的是(D)A．1cm,2cm,5cmB．2cm,2cm,4cmC．2cm,3cm,5cmD．2cm,3cm,4cm解析：A中，1cm＋2cm＜5cm，不能组成三角形；B中，2cm＋2cm＝4cm，不能组成三角形；C中，2cm＋3cm＝5cm，不能组成三角形；D中，2cm＋3cm＞4cm，能组成三角形．故选D.2．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是(B)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：三角形的内角和是180°，因此这个三角形的三个内角分别是180°×29＝40°，180°×39＝60°，180°×49＝80°，故这个三角形是锐角三角形．故选B.3．如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为()A．40°B．45°C．50°D．55°解析：∵∠B＝67°，∠C＝33°，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－67°－33°＝80°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝12∠BAC＝40°.故选A.答案：A4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为()A．6B．7C．8D．9解析：∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠CBE，∠NCE＝∠BCE.∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB.∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝NC，∴MN＝ME＋EN，即MN＝BM＋CN＝9.故选D.答案：D5．如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有(C)A．1组B．2组C．3组D．4组解析：①由SSS证明△ABC≌△DEF；②由SAS证明△ABC≌△DEF；③由ASA证明△ABC≌△DEF；④满足两边及一边的对角分别相等，不能证明△ABC≌△DEF.综上所述，故选C.6．如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD.求证：BC＝ED.证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD.又∵AB＝CE，AC＝CD，∴△BAC≌ECD(SAS)．∴BC＝ED.7．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数．解：(1)证明：在△ABE和△DCE中，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，AB＝DC，∴△ABE≌△DCE.(2)由(1)△ABE≌△DCE，可得BE＝CE.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠AEB是△EBC的外角，∴∠AEB＝∠EBC＋∠ECB＝2∠EBC.∵∠AEB＝50°，∴∠EBC＝12∠AEB＝25°.考点训练一、选择题(每小题3分，共36分)1．(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是(B)A．5B．10C．11D．12解析：设第三边的长为x，由三角形三边关系，可得8－3＜x＜3＋8，即5＜x＜11.故选B.2．(2014·黄石)如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(C)A．30°B.60°C.90°D.120°解析：因为矩形的四个角都是直角，则∠1＋∠2＝90°.故选C.3．(2014·湘潭)如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE＝15米，则AB＝______米．()A．7.5B．15C．22.5D．30解析：∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝30(米)．故选D.答案：D4．(2014·河北)如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是()A．20°B．30°C．70°D．80°解析：直线a，b相交后可形成一个三角形，由三角形外角的性质可知，a，b相交所成锐角为100°－70°＝30°.故选B.答案：B5．(2014·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°解析：∵∠B＝46°，∠C＝54°，∴∠BAC＝180°－46°－54°＝80°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝40°.∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝40°.故选C.答案：C6．(2014·深圳)如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF()A．AC∥DFB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．∠ACB＝∠F解析：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A，D都正确；当添加∠A＝∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；但添加AC＝DF时，由SSA不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确．故选C.答案：C7．如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是()A．△AOB≌△BOCB．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EODD．△AOD≌△BOC解析：∵AD＝DE，DO∥AB，∴OD为△ABE的中位线，∴OD＝OC.∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，AD＝ED，∠ADO＝∠EDO，OD＝OD，∴△AOD≌△EOD(SAS)，故C正确；∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，AD＝BC，∠ADO＝∠BCO，OD＝OC，∴△AOD≌△BOC(SAS)，故D正确；∵△AOD≌△EOD，△AOD≌△BOC，∴△BOC≌△EOD，故B正确．故选A.答案：A8．(2014·厦门)如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC＝BD,AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于()A．∠EDBB．∠BEDC.12∠AFBD．2∠ABF解析：∵AC＝BD,AB＝ED，BC＝BE，∴△ABC≌△DEB，∴∠ACB＝∠EBD.∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠AFB＝∠ACB＋∠EBD，∴∠AFB＝2∠ACB，即∠ACB＝12∠AFB.故选C.答案：C9．(2014·南昌)如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中，不能判断△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DEB．∠B＝∠EC．EF＝BCD．EF∥BC解析：由AB∥DE，AC∥DF，可得∠A＝∠D.又∵AC＝DF，∴A中，AB＝DE，可由“SAS”证明△ABC≌△DEF；B中，∠B＝∠E，可由“AAS”证明△ABC≌△DEF；C中，EF＝BC，不能判断△ABC≌△DEF；D中，EF