一元一次方程讲义(钱伟杰)

上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处1泽仕学堂学科教师辅导讲义学员姓名：钱伟杰辅导科目：数学年级：初一学科教师：张先安授课日期及时段课题一元一次方程重点、难点、考点对于实际应用问题如何用一元一次方程求解的问题学习目标1.会解一元一次方程和方程组2对实际应用问题能用一元一次方程求解教学内容01、一元一次方程的概念1、等式：①定义：用表示关系的式子叫做等式。②下列各组中是等式的是（）A、7xB、32C、xxx1322D、ba122、方程①定义：含有的等式叫做方程②下列各组中是方程的是（）A、7xB、6)3(2C、xx)3(22D、3131x3、一元一次方程①定义：整理后，只含有未知数，并且未知数的次数是的方程，叫做一元一次方程。②下列各组中是一元一次方程的是（）A、7yxB、6922xC、01)3(2xD、321x③下列各组中是一元一次方程的是（）A、312xB、06)13(2xx上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处2C、yx1)3(2D、3)(22xxx④已知关于x的方程1(2)53kkxk是一元一次方程，则k=（）A、±2B、2C、－2D、±1⑤已知06)2()4(22xmxm是关于x的一元一次方程，则m=02、方程的解①定义：使方程左右两边的值的未知数的值叫做方程的解，只含有未知数的方程的解又称为方程的根。②若1x是方程23xax的解，则a的值是（）A、－1B、5C、1D、－5③下列方程中根是2y的是（）A、02yB、842yC、0)2(2yD、022y④以下判断正确的是（）A、1x是方程312x的解B、2y是方程23121yy的解C、1t是方程031t的解D、4x是方程)1(235xx的解03、等式的性质①等式的性质等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等。等式两边乘同一个数，或除以同一个的数，结果仍相等。②已知等式ax=ay,下列变形不正确的是（）.A、x=yB、ax+1=ay+1C、ay=axD、3-ax=3-ay③列说法正确的是（）A、等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式；B、等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C、等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式；上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处3D、一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；④在等式abac两边都除以a,可得bc。这句话对吗？说出你的理由？_________________________________________________________________⑤在等式ab两边都除以21c，可得2211abcc。这句话对吗？说出你的理由。_________________________________________________________04、移项①定义：把等式一边的某项后移到另一边，叫做移项。②通常常数项要移到方程的右边，未知项要移到方程的左边。③移项时要变号：移正变，移负变。④下列一项正确的是（）A、若312x，则13xB、若xx382，则823xxC、若232x，则232xD、若xx2513，则1523xx05、系数化为1①一元一次方程的最简形式：bax②定义：当把方程化为最简形式bax后，方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解的过程叫做系数化为1.③系数化为1时，未知数的系数做分母。④下列系数化为步骤正确的是（）A、由24x，得到2xB、由53x，得到2xC、由221x，得到1xD、由25.0x，得到4x06、去分母去分母时要注意三点：①确定各分母的最小公倍数；②不含分母的项也要乘以最小公倍数；③去掉分母后对分子加括号。④解方程2122132xx时，去分母，得()上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处4A、12134xxB、12132xxC、12132xxD、12134xx⑤方程5174732xx去分母得()A、2-5(3x-7)=-4(x+17)B、40-15x-35=-4x-68C、40-5(3x-7)=-4x+68D、40-5(3x-7)=-4(x+17)⑥李明同学在解方程13312axx去分母时，方程右边的－1没有乘3，因而求得方程的解为2x，试求a的值，并正确地解方程。07、分母由小数化为整数①将方程35.012.02xx的分母化为整数，方程变为。②把103.02.017.07.0xx中的分母化为整数正确的是（）A、132177xxB、13217710xxC、1032017710xxD、132017710xx③下列方程的解答过程是否有错误？若有错误，简要说明产生错误的原因，并改正.解方程：5.25.014.02.03xx解：原方程可化为：25510423010xx去分母，得250)104(2)3010(5xx去括号、移项、合并同类项，得42042x∴10x上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处508、一元一次方程的解法1、解一元一次方程的一般步骤为：①去分母,②去括号,③移项,④合并同类项,⑤系数化为1特别说明：去分母前，应把分母化为整数2、解下列方程①3（x-2）=2-5(x-2)②310.40.342xx③143321mm④301.032.01xx⑤112[(1)](1)223xxx⑥35.012.02xx⑦43(1)323322xx上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处6⑧关于x的方程1634axax的解是1x，对于同样的a，求另一个关于x的方程1436axax的解。09、绝对值方程①定义：方程中的未知数在绝对值内的方程叫做绝对值方程②若51x，则51x或，解之得x=6或③若1x=3，则1x或1x，解之得x＝。④解方程：5213xx10、比例问题1、建模：①设未知数的方法：已知各个量之间的比例时，按比例设未知数②相等关系：各分量之和等于总数量2、已知三个数的比是5:7:9，若这三个数的和是252，则设这三个数依次是______，可列方程为。11、分配问题1、建模：①分A给B，设B表示A②A的数量=需要量+剩余量=需要量-缺少量③相等关系：第一种分法中表示的A的数量=第二种分法中表示的A的数量2、某校七年级近期实行小班教学，若每间教室安排20名学生，则恰好缺少3间教室；若每间教室安排24名学生，则恰好空出1教室。问这所学校为七年级学生安排了多少间教室？（提醒：恰好缺少3间教室意思是剩余3×20名学生；恰好空出1教室意思是缺少1×24名学生）上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处712、人员调配问题1、建模：设未知数的方法①内部调配：甲队多x人，乙队就少x人②外部支援a人：甲队增派x人，则乙队就增派（a－x）人相等关系：调配后的要求2、甲队劳动的有43人，在乙处劳动的有22人，现要赶工期，总公司另调28人去支援，使甲处的人数为乙处的两倍，应分别调多少人往两处？13、资源配套问题1、建模：设未知数的方法a个人分工生产A、B两种零件，设安排x人生产A零件，则安排(a-x)人生产B零件相等关系：A零件的总数：B零件的总数=一套产品中A与B的比2、一张方桌由一张桌面和4条桌腿组成，1立方米木料可制作桌面50个或桌腿300条，现有5立方米木料，问分别用多少木料制作桌面和桌腿，正好配成方桌多少张上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处814、数字问题1、基础知识①一个三位数可以表示为：百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字②若x表示一个一位数，y表示一个两位数，则把x放在y的左边组成的三位数表示为：100x+y,把x放在y的右边组成的三位数表示为：10y+x。2、设未知数的方法：设某位数字为x,表示其他数位上的数字。3、一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为13，交换这两个数字的位置所得新数比原来两位数大45，求这个两位数。解：设这个两位数的十位上的数字为x,则个位上的数字为，这个两位数表示为，新两位数表示为，可列方程为。15、工程问题1、基础知识：①甲单独完成某件工作的时间为a,则甲的工作效率为a1②工作量=工作效率×工作时间2、设未知数的方法：设余下的工作需要x完成。（设时间）3、相等关系：甲的工作量＋乙的工作量=总工作量（一般都看做单位1）4、完成某项工程，甲单独做要20天，乙单独做需要15天，乙单独做5天后，两队合作，问合作几天后可以完成全部工程？解：设合作x天后可以完成全部工程一项工程，甲完成的工作量为，乙完成的工作量为，可列方程为：。16、销售问题1、基本知识①商品打x折出售：是按标价的10x出售。②商品利润=商品售价－商品成本价。③商品的利润率=%100商品成本价商品利润。④商品的销售额=商品销售价×商品销售量。上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处9⑤商品的销售利润=（销售价－成本价）×销售量。2、相等关系：销售价=定价×打折-让利=成本×（1+利润率）3、某服装店出售一种优惠卡，花200元买这种卡后，可凭卡在这家商店按8折购物。小芳购卡后买了一件原价1200元的西装，小敏购卡后买了一件原价500元的毛衣。则小芳买卡购物划算，则小芳买卡购物划算，在购买超过元情况下买卡购物才划算。17、方案选择问题建模：1、弄清两种方案收费表达式2、求出消费多少时，两种方案收费一样（找出临界点）3、得出在什么消费范围时方案一合算，在什么消费范围时方案二合算。练习：下表中有两种移动电话计费方式。月租主叫限定时间（分）主叫超时费（元／分）被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费考虑下列问题。（1）设一个月内用移动电话主叫t分钟（t是正整数）。根据上表，列表说明:当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费。主叫时间t（分钟）方式一计费（元）方式二计费（元）省钱方案t﹤1505888t=1505888150﹤t﹤35058+0.25（t-150）88t=27058+0.25（270-150）=8888t=35058+0.25（t-150）=10888t﹥35058+0.25（t-150）88+0.19（t-350）上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处1018、相遇问题1、基础知识时间速度，路程时间路程，速度速度路程时间2、相遇问题的相等关系是：甲的行程+乙的行程=甲乙出发前相距的总路程3、小王从家门口的公交车站去火车站。如果坐公交车，他将会在火车开车后半小时到达车站；如果坐出租车，可以在火车开车前15分到达火车站。已知公交车的速度是45千米／时。出租车的速度是公交车的2倍，问小王的家到火车站有多远？解法一：设出租车到火车站要x小时，则公交车到火车站要小时。列方程：解法二:设小王的家到火车站的路程是xkm，根据时间等于路程÷速度，得他坐公交车到火车站要小时，坐出租车到火车站要小时，根据出租车到火车站所用的时间比公交车要少________小时，可列方程：__________________。19、追及问题①时间速度，路程时间路程，速度速度路程时间②追及问题的相等关系是：后面的行程=前面的行程＋甲乙出发前相距的路程3、甲、乙两人相距100m，甲在前面以10m/s的速度匀速运动，乙在后面以12m/s的速度匀速运动，试问乙经多长时间追上甲？解：设乙经x秒追上甲，则甲的行程为乙的行程为，可列方程：__________________。上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处1120、航行问题1、速度关系：①顺v=静v＋水v②逆v=静v－水v③顺v-逆v=2水v2、相等关系：顺流路程=逆流路程3、一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行