平面向量的线性运算一般讲解版

平面向量的线性运算[知识链接]1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或称)．(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是的．(3)单位向量：长度等于个单位的向量．(4)平行向量：方向的非零向量，平行向量又叫向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：0与任一向量．(5)相等向量：长度且方向的向量．(6)相反向量：与a长度，方向的向量，叫做a的相反向量．2.向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量ba,，在平面内任取一点A，作BA=bCBa,，则向量CA叫做a与b的，记做，即=CBBA=，这种求向量和的方法，称为向量加法的。（2）以同一点O为起点的两个已知向量ba,为邻边做平行四边形0ACB，则以O为起点的对角线CO就是a与b的和，这种做两个向量和的方法称为向量加法的。(3)加法的几何意义：从法则可以看中，如下图所示．3.向量的减法运算及其几何意义（1）定义ba=a，即减去一个向量等于加上这个向量的。（2）如右图，,,bDAaBA则CA，BD。4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝；②当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝；(结合律)②(λ＋μ)a＝；(第一分配律)③λ(a＋b)＝.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是.[基础检测]：A1．已知λ∈R，则下列命题正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a|D．|λa|0A2．平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，点E在BC上，且BE→＝2EC→，设AB→＝a，AD→＝b，则OE→为()A.32a＋76bB.12a＋16bC.12a－16bD.12a＋23bA3．在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________.(用a、b表示)A4．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N＝________.B5．下列四个命题：(1)对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；(2)对于实数m和向量a，b(m∈R)，若ma＝mb，则a＝b；(3)ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n；(4)a＝b，b＝c，则a＝c，其中正确命题的个数为________．[典型例题]题型一向量的有关概念A例1、判断下列各命题是否正确.（1）若|a|=|b|，则a=b;（2）若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；（3）若a∥b,b∥c，则a∥c;（4）两向量a,b相等的充要条件是：|a|=|b|且a∥b；A[变式训练]1．判断下列各命题的真假：(1)向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；(2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；其中假命题的个数为()A．2B．3C．4D．5题型二平面向量的线性运算B例2:(2009·山东卷)设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()A.PA→＋PB→＝0B.PC→＋PA→＝0C.PB→＋PC→＝0D.PA→＋PB→＋PC→＝0B【变式训练】平行四边形ABCD对角线交点C，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，OA→＝a，OB→＝b，用a、b表示OM→、ON→、MN→.题型三平面向量共线定理及应用B例3设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．B[变式训练]设1e，2e是两个不共线的向量，则向量m＝－1e＋k2e(k∈R)与向量n＝2e－21e共线的充要条件是()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝21【达标检测】A1．△ABC中，BD→＝12DC→，AE→＝3ED→，若AB→＝a，AC→＝b，则BE→＝________.B2.设O是△ABC内部的一点，且OA→＋2OB→＋2OC→＝0，则△ABC和△OBC的面积之比为()A．3∶2B．5∶2C．4∶1D．5∶1B3、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心B4．在△AOB中，C是AB边上的一点，且BCCA＝λ(λ0)，若OA→＝a，OB→＝b.(1)当λ＝1时，用a，b表示OC→；(2)用a，b表示OC→.C5．已知非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC的形状是()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰(非等边)三角形D．等边三角形C6．若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.(1)若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在一直线上？(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？