二次根式的化简与计算的策略与方法

二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：①先将式中的二次根式适当化简②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（，）③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算．④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项．⑤运算结果一般要化成最简二次根式．化简二次根式的常用技巧与方法二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析．1．公式法【例1】计算①；②【解】①原式②原式【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法【例2】计算：【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下：【解】原式．【例3】把下列各式的分母有理化．（1）；（2）（）【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：【解】①原式【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下：【解】②原式3．运用配方法【例4】化简【解】原式【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“”4．平方法【例5】化简【解】∵∴．【解后评注】对于这类共轭根式与的有关问题，一般用平方法都可以进行化简5．恒等变形公式法【例6】化简【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式，则使运算简化．【解】原式6．常值换元法【例7】化简【解】令，则：原式7．裂项法【例8】化简【解】原式各项分母有理化得原式【例9】化简【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：【解】原式8．构造对偶式法【例10】化简【解】构造对偶式，于是没，则，，原式9．由里向外，逐层化简【解】∵而∴原式【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处理．10．由右到左，逐项化简【例11】化简【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简．【解】原式．【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键，由平方差公式将多重根号逐层脱去，逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的．返回二次根式大小比较的常用方法二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．1．根式变形法【例1】比较与的大小【解】将两个二次根式作变形得，∵，∴即【解后评注】本解法依据是：当，时，①，则；②若，则2．平方法【例2】比较与的大小【解】，∵，∴【解后评注】本法的依据是：当，时，如果，则，如果，则．3．分母有理化法通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小．【例3】比较与的大小【解】∵又∵∴4．分子有理化法在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，利用分母的大小来判断其倒数的大小．【例4】比较与的大小【解】∵又∵∴．而5．等式的基本性质法【例5】比较与的大小【解法1】∵又∴即【解后评注】本解法利用了下面两个性质：①都加上同一个数后，两数的大小关系不变．②非负底数和它们的二次幂的大小关系一致．【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得又∵∴【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后，两数的大小关系不变．6．利用媒介值传递法【例6】比较与的大小【解】∵∴又∵∴∴【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较．7．作差比较法在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：①；②【例7】比较与的大小【解】∵∴8．求商比较法与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当，时，则：①；②【例8】比较与的大小．【解】∵∴∴【解后评注】得上所述，含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法，来求解．有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解出正确的结果．二次根式的化简与计算的策略与方法二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：①先将式中的二次根式适当化简②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（，）③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算．④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项．⑤运算结果一般要化成最简二次根式．化简二次根式的常用技巧与方法二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析．1．公式法【例1】计算①；②【解】①原式②原式【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法【例2】计算：【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下：【解】原式．【例3】把下列各式的分母有理化．（1）；（2）（）【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：【解】①原式【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下：【解】②原式3．运用配方法【例4】化简【解】原式【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“”4．平方法【例5】化简【解】∵∴．【解后评注】对于这类共轭根式与的有关问题，一般用平方法都可以进行化简5．恒等变形公式法【例6】化简【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式，则使运算简化．【解】原式6．常值换元法【例7】化简【解】令，则：原式7．裂项法【例8】化简【解】原式各项分母有理化得原式【例9】化简【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：【解】原式8．构造对偶式法【例10】化简【解】构造对偶式，于是没，则，，原式9．由里向外，逐层化简【解】∵而∴原式【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处理．10．由右到左，逐项化简【例11】化简【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简．【解】原式．【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键，由平方差公式将多重根号逐层脱去，逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的．返回二次根式大小比较的常用方法二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．1．根式变形法【例1】比较与的大小【解】将两个二次根式作变形得，∵，∴即【解后评注】本解法依据是：当，时，①，则；②若，则2．平方法【例2】比较与的大小【解】，∵，∴【解后评注】本法的依据是：当，时，如果，则，如果，则．3．分母有理化法通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小．【例3】比较与的大小【解】∵又∵∴4．分子有理化法在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，利用分母的大小来判断其倒数的大小．【例4】比较与的大小【解】∵又∵∴．而5．等式的基本性质法【例5】比较与的大小【解法1】∵又∴即【解后评注】本解法利用了下面两个性质：①都加上同一个数后，两数的大小关系不变．②非负底数和它们的二次幂的大小关系一致．【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得又∵∴【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后，两数的大小关系不变．6．利用媒介值传递法【例6】比较与的大小【解】∵∴又∵∴∴【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较．7．作差比较法在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：①；②【例7】比较与的大小【解】∵∴8．求商比较法与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当，时，则：①；②【例8】比较与的大小．【解】∵∴∴【解后评注】得上所述，含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法，来求解．有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解出正确的结果．二次根式大小比较的常用方法二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．1．根式变形法【例1】比较与的大小【解】将两个二次根式作变形得，∵，∴即【解后评注】本解法依据是：当，时，①，则；②若，则2．平方法【例2】比较与的大小【解】，∵，∴【解后评注】本法的依据是：当，时，如果，则，如果，则．3．分母有理化法通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小．【例3】比较与的大小【解】∵又∵∴4．分子有理化法在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，利用分母的大小来判断其倒数的大小．【例4】比较与的大小【解】∵又∵∴．而5．等式的基本性质法【例5】比较与的大小【解法1】∵又∴即【解后评注】本解法利用了下面两个性质：①都加上同一个数后，两数的大小关系不变．②非负底数和它们的二次幂的大小关系一致．【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得又∵∴【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后，两数的大小关系不变．6．利用媒介值传递法【例6】比较与的大小【解】∵∴又∵∴∴【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较．7．作差比较法在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：①；②【例7】比较与的大小【解】∵∴8．求商比较法与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当，时，则：①；②【例8】比较与的大小．【解】∵∴∴【解后评注】得上所述，含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法，来求解．有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解出正确的结果．