王朝和--平面几何

1平面几何著名定理及其应用平面几何在其漫长的发展过程中，得出了大量的定理，积累了大量的题目，其中很多题目都是大数学家的大手笔，这些题目本身就是典范，这些题目的解决方法则更是我们学习平面几何的圭臬．通过学习这些题目，大家可以体会到数学的美．而且这些题目往往也是数学竞赛命题的背景题，在很多竞赛题中都可以找到他们的身影．本讲拟介绍几个平几名题及其应用．常用定理回顾：一．Ptolemy定理：1．定理1(Ptolemy定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立)2．Ptolemy定理的其他形式：⑴三弦定理：设A为⊙O上的一点，AB、AC、AD为⊙O的顺次三条弦，则ACsin∠BAD＝ABsin∠CAD＋ADsin∠BAC．⑵四角定理：设ABCD为⊙O的内接四边形，则sin(α＋β)sin(α＋γ)＝sinαsinδ＋sinβsinγ．⑶任意四边形的Ptolemy定理：对于任意四边形ABCD，有AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．等号当且仅当四边形ABCD内接于圆时成立．二．Ceva定理1．Ceva定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．2．Ceva定理的角元形式：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是sin∠ACZsin∠ZCB·sin∠BAXsin∠XAC·sin∠CBYsin∠YBA=1．三．Menelaus定理：1．Menelaus定理：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．2．Menelaus定理的角元形式：sin∠ACZsin∠ZCB·sin∠BAXsin∠XAC·sin∠CBYsin∠YBA=1．四．张角定理1．定理4(张角定理)：从一点O引出三条射线OA、OB、OC，且点A、B、C共线．若OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB＝α，∠BOC＝β，则sin(α＋β)b＝sinβa＋sinαc．2．若α＝β，即OB为∠AOC的角平分线，则有2cosαb＝1a＋1c．PZYXBCAACBXYZPAZBCYXBACXYZADCBOBCAOacb2OA2A1A7A6A5A4A3bat2t1Ct4t3JIOBDACEFGHHFABCDJLEG五、西摩松（Simson）线：已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PX⊥BC，PY⊥AC，PZ⊥AB，X、Y、Z为垂足，则X、Y、Z三点共线，这条直线叫做西摩松线。六．斯帝瓦特（Stewart）定理设B为AC线段上的一点，P是任意一点，则PA2·BC＋PC2·AB＝PB2·AC+AB·BC·AC二、范例选进:1、在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G求证：∠GAC=∠EAC（1999年加试第一题）2、设正六边形ABCDEF的对角线AC，CE分别被内点M，N分成的比为AMCNrACCE，如果B，M，N三点共线，求r的值.3、(Salmonline)从圆上一点引三条弦PA、PB、PC，以这些弦为直径作圆，则这三个圆的除点P外的三个交点X，Y，Z共线．4、设A1A2A3A4A5A6A7是圆的内接正七边形,求证:121314111AAAAAA5、过圆外一点P作圆的两条切线与一条割线，切点为A、B，作的割线与圆交于C、D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC求证：∠DBQ=∠PAC（2003年加试第一题）6、设a,b,c分别是共线的三点A,B,C对于⊙O作的切线的长求证:a·BC＋c·AB－b·AC=BC·AC·AB7、在筝形ABCD中，AB=AD，BC=CD，经AC、BD交点O作二直线分别交AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H，GF、EH分别交BD于点I、J，求证：IO=OJ．（1990年冬令营选拔赛题）8．⊙O是△ABC的外接圆，I是△ABC的内心，射线AI交⊙O于点D，求证：AB、BC、CA成等差数列的充要条件是S△IBC＝S△DBC．9．设I为△ABC的内心，角A、B、C所对边分别为a，b，c，求证：IA2bc＋IB2ac＋IC2ab＝1．10．在△ABC中，B1、C1分别是AB、AC延长线上的点，D1为B1C1的中点，连AD1交△ABC的外接圆于点D，求证：AB·AB1＋AC·AC1＝2AD·AD1．P34521AYBCXZ6BCDAIO311．设A1、B1、C1是△ABC外接圆的⌒BC、⌒CA、⌒AB上的点，则AA1、BB1、CC1共点的充要条件为BA1A1C·CB1B1A·AC1C1B＝1．12．AD为锐角三角形ABC的一条高，K为AD上任一点，BK、CK的延长线分别交AC、AB于点E、F．求证：∠EDK＝∠FDK．(1994年加拿大数学竞赛)13．四边形ABCD外切于⊙O，P、Q、R、S分别为两组对边上的切点，求证：PQ、RS、AC、BD四线共点．14．△ABC的边BC，CA，AB上三点P，Q，R内分相应三边的比为t∶(1－t)，△ABC的面积为L，以AP，BQ，CR为三边的三角形面积为K，试求KL．15．以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别交AB、AC于点D、E，分别过D、E作BC的垂线，垂足依次为F、G，线段DG、EF交于点M，求证：AM⊥BC．16(蝴蝶定理)AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP＝QM．17．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：(1)OB⊥DF，OC⊥DE；(2)OH⊥MN．18．设点D为等腰ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证：CDEFDFAEBDAF19．如图，已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D，以CD为直径的圆分别交BC，CA于点P、Q，求证：线段PQ平分△ABC的周长123645XYZBCAA1B1C1ODBCAEFKMNYXODCBAQPRSEF