2-2,3_矩阵的运算,逆矩阵(第五次)

例4．设A=，4-2-21B=，求AB及BA.42-6-3AB=解：-32-16168，BA=0000B=，求AB及BA.A=，例3．设231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.注2：矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA;注3：两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从AB=O，推出A=O或B=O.注意：左乘右乘的不同1110例5．设A=，B=，求AB及BA.2110解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=显然AB=BA.定义：如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换.显然AC=BC，但AB.121011,,,030400ABC===则例6．设10110400BC=11.00=12110300AC=11,00=注4：矩阵乘法不满足消去律.例8.100000001设A=则AA=100000001100000001100000001==A.显然AA=A，但AE，AO.例7．对于任意矩阵A及相应的矩阵O，E，有AO=O，OA=O；AE=A，EA=A，EE=E.a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…………………as1x1+as2x2+…+asnxn=bsb=b1b2…bsa11a12…a1na21a22…a2n…………as1as2…asnA=Ax=bx=x1x2…xn例9.线性方程组的矩阵表示（矩阵方程）应注意的问题(1)ABBA；(3)AB=OA=O或B=O；/(2)AC=BCA=B；/矩阵乘法的性质(4)AA=AA=E或A=O./(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).4.方阵的幂对于方阵A及自然数kAk=AAA(k个A相乘)，称为方阵A的k次幂.方阵的幂有下列性质：(1)ArAs=Ar+s；(2)(Ar)s=Ars.问题：(A+B)2=?②(A-B)2=A2-AB-BA+B2注:①(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2③(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2定义4将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A.即如果a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amn…………A=，a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amn…………AT=则.例如，设x=(x1x2xn)T，y=(y1y2yn)T，则(y1y2yn)xyTx1x2xn==x1y1x2y1…xny1x1y2x2y2…xny2x1ynx2yn…xnyn………….5.转置矩阵及对称方阵显然，ET＝E.转置矩阵有下列性质(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(kA)T=kAT；a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amn…………A=，a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amn…………AT=则.定义4将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A.即如果(4)(AB)T=BTAT.5.转置矩阵及对称方阵定义5设A为n阶方阵，若AT=A，则称A为对称矩阵，如果AT=-A，则称A为反对称矩阵.分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵.显然：A为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji;A为反对称矩阵的充分必要条件是aij=-aji.如：112012134,104242240--=-=---AB定义6设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或detA.性质：设A、B为n阶方阵，k为数，则(1)|A|=|AT|;(3)|AB|=|A||B|.(2)|kA|=kn|A|;6.方阵的行列式显然，|E|=1.一般地，若A1,A2,…Ak都是n阶方阵，则1212kk=AAAAAA显然kk=AAA——方阵f(x)=asxs+as-1xs-1+…+a1x+a0f(A)=asAs+as-1As-1+…+a1A+a0Ef(x)——多项式注意!!!定义7.方阵A的多项式6.方阵的行列式例10．设--=123012101A-=200130012BAB求解:因为----=096154212AB212||45124690--=-=-AB由公式=ABAB则24=AB若先求得101||2102321-==--A210||03112002-==-B同样24=AB例11．设A，B均为四阶方阵，且.计算.解由方阵的行列式的运算规律，2,1=-=ABTT22()-ABA2TT)(2ABA-4TT2(2)()=-ABA2216=ABA2T16()=ABA128.=-2．设A,B都是2阶方阵，且｜A｜=2，B=-3E，则|ATB|=().1．设A是3阶方阵，且｜A｜=－2，则｜A2｜=()|2A|=(),|－A|=().4-16218练习-=-=+132121xxxx-=-13111121xx解方程组解：将其写成矩阵方程两边都左乘矩阵F得)2/12/12/12/1(-=F--=--132/12/12/12/111112/12/12/12/121xx.2,121==xx=21100121xx=2121xx从而得方程组的解:那么,F矩阵是怎么得到的呢？2.3逆矩阵逆矩阵概念的引入定义1对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E，那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.1.可逆矩阵的定义这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E，AB1=B1A=E于是B=B1.=EB1=(BA)B1=B(AB1)=BE如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.逆矩阵的唯一性A的逆矩阵记为A-1.即若AB=BA=E，则B=A-1.定义1对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E，那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.1.可逆矩阵的定义定理1如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.由于A，B位置对称，故A，B互逆，即B=A-1，A=B-1.如----=421412311A----=113214124B可以验证，EBAAB==2.方阵可逆的充分必要条件A11A21An1A12A22A2nA1nA2nAnn定义2由矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为A*.即a11a12a1na21a22a2nan1an2annA=的代数余子式构成的矩阵A11A21An1A12A22A2nA1nA2nAnnA*=例1.求--=110321111A的伴随矩阵A*.解:121213(1)101A+-=-=-同理A13=1，A21=-2，A22=1，A23=-1，A31=-1，A32=2，A33=1因此A的伴随矩阵----=111211125*AA11A21A31A12A22A32A13A23A33三阶矩阵A的伴随矩阵A*为111123(1)511A+-=-=，定理2n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.所以|A|0，即A为非奇异.设A可逆，故|A|·|A-1|=|E|=1，使AA-1=E,即有A-1，证：必要性.=—A*，1|A|A-1定义3对于n阶矩阵A，若行列式|A|=0，则称A是奇异的(或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退化的).2.方阵可逆的充分必要条件a11a12a1na21a22a2nan1an2annA11A21An1A12A22An2A1nA2nAnnAA*==|A|E|A|000|A|000|A|=充分性.定理2n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.证：=—A*，1|A|A-1设A非奇异，B=—A*1|A|取=A(—A*)1|A|则有AB=—AA*1|A|注意：=—|A|E1|A|=E.同理可证BA=E.因此A可逆，=—A*.1|A|且A-1(即AB=E.)=—A*.1|A|A-1矩阵A可逆|A|0；例2．求矩阵A=的逆矩阵.2-311200-512-311200-51解:因为=20，所以A可逆.又因为A12A13A11A22A23A21A32A33A31A*=107-5-2-2221-1=，所以=—A*1|A|=—12A-1107-5-2-2221-157/2-5/2-1-1111/2-1/2=.|A|=推论设A是n阶方阵，若存在同阶方阵B，使得AB=E(或BA=E)，则A可逆，且A-1=B.这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵，只要验证一个等式AB=E或BA=E即可.例3．设n阶矩阵A满足aA2+bA+cE=O，证明A为可逆矩阵，并求A-1(a,b,c为常数，且c0).又因c0，故有aA2+bA=-cE，解:由aA2+bA+cE=O，有-c-1(aA2+bA)=E，即-c-1(aA+bE)A=E，因此A可逆，且A-1=-c-1aA-c-1bE.3.可逆矩阵的性质(3)若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB)-1=B-1A-1.因为(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E所以(AB)-1=B-1A-1.(2)若A可逆，数l0，则lA可逆，且(lA)-1=l-1A-1.(1)若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A.(4)若A可逆，则AT也可逆，且(AT)-1=(A-1)T.因为AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E，所以(AT)-1=(A-1)T.(5)|A-1|=|A|-1.例4.设三阶矩阵A,B满足关系式，且ABABAA61+=-130001400017=A求矩阵B.解:由于A可逆，将等式ABABAA61+=-两端右乘1-A有EBBA61+=-，整理得EBEA6)(1=--,于是=--6000300021EA故113006()020001--=-=BAE1111)(6)(61-----=-=EAEAB，线性方程组11112211211222221122,,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb+++=+++=+++=的矩阵形式为AXb=其中111212122212,nnnnnnaaaaaaaaa=A12,nxxx=X12,nbbb=b当|A|≠0时，A-1存在，AX=b两边左乘A-1，得X=A-1b这就是线性方程组解的矩阵表达式.4.用逆矩阵求解线性方程组例5.利用逆矩阵求解方程组1231212322322.24xxxxxxxx++=-=-++=解:将方程组写成矩阵形式bAX=.422,,121011322321==--=bXAxxx计算得01-=A，故A可逆.因而有bAX1-=，即.262018422461351341422