回归直线及其方程

1.两个变量之间的相关关系的含义如何？成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么特点？自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系.正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，负相关的散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域2.观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据的散点图，这两个相关变量成正相关.我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？对此，我们从理论上作些研究.051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量思考1：在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量这些点大致分布在一条直线附近.知识探究（一）：回归直线如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.就像平均数可以作为一个变量的数据代表一样，这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量思考1：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？从整体上看，各点与此直线的距离最小051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量思考1：如何用数学的方法刻画从整体上看，各点与此直线的距离最小。051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）设所求的回归直线方程为Y=bx+a，其中a，b是待定的系数。当变量x取x1，x2，…，xn时，可以得到Yi=bxi+a（i=1，2，…，n）它与实际收集得到的yi之间偏差是yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n）（x1，y1）（x2，y2）（xi，yi）yi-Yiyx问题归结为：当a，b取什么值时Q最小，即点到直线y=bx+a的整体距离最小。xbyaxnxyxnxxxyyxxbniiniiiniiniiiy,)())((1221121通过求Q（各点到直线的整体距离）的最小值从而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫做最小二乘法。axbyˆˆˆ计算回归方程的斜率和截距的一般公式：xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)())((1221121其中，b是回归方程的斜率，a是截距。注：对具有线性相关关系的两个变量，其回归直线一定通过样本点的中心,yxaxbyˆˆˆ问:利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比.若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量20.9%448.0577.0ˆxy思考：我们可不可以说某人体内脂肪一定为20.9%例题1：求三点（3，10），（7，20），（11，24）的线性回归方程．051015202530051015解（1）作出散点图：i123xi3711yi102024xiyi30140264xi294912131434.iiixy7,18.xy321179;iix(2)列表如下:(3)代入公式3132213ˆ343437181.75179349iiiiixyxybxxˆˆ-18-71.755.75aybx.75.575.1ˆxy所求线性回归方程为:小结1.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，列表计算平均数,xy1niiixy21niix第二步，求和,1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx第三步，计算第四步，写出回归方程3.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.4.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.2.回归直线一定通过样本点的中心,yx