【2012优化方案】数学 必修2 第二章2.3.2知能优化训练

1．若A(1,1,0)，B(1,1,1)，则AB＝________.若点C(－3,1,5)，D(0，－2,3)，则CD＝________.解析：利用空间两点间的距离公式可得，AB＝1－12＋1－12＋0－12＝1，CD＝－3－02＋1＋22＋5－32＝22.答案：1222．已知点A(－3,1，－4)，则点A关于原点的对称点的坐标为________．解析：空间中的一点关于原点对称点的坐标应为原来每个点的坐标的相反数，即所求的点是(3，－1,4)．答案：(3，－1,4)3．点M(4，－3,5)到原点的距离d1＝________，到z轴的距离d2＝________.解析：利用两点间距离公式可得d1＝42＋－32＋52＝52.过M作MN⊥平面xOy于N，则N(4，－3,0)，故d2＝ON＝42＋－32＝5.答案：5254．已知A(4，－7,1)，B(6,2，z)，若AB＝10，则z＝________.解析：由AB＝4－62＋－7－22＋1－z2＝10解得z＝1±15.答案：1±15一、填空题1．(2011年南通质检)点A(－3,1,5)与B(4,3,1)的中点的坐标是________．解析：由中点坐标公式可得中点坐标为(12，2,3)．答案：(12，2,3)2．已知两点M1(－1,0,2)，M2(0,3，－1)，此两点间的距离为________．解析：利用两点间的距离公式可得M1M2＝－12＋0－32＋2＋12＝19.答案：193．点M(3，－3,1)关于xOy平面的对称点是________．解析：空间中的一点关于xOy对称的点的坐标是x，y不变，z变为原来的相反数，即所求的点是(3，－3，－1)．答案：(3，－3，－1)4．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则BC的长为________．解析：点C的坐标为(1,2,1)，点B的坐标为(1，－2,1)．∴BC＝1－12＋－2－22＋1－12＝4，答案：45．已知A(－1，－2,1)、B(2,2,2)，点P在z轴上，且PA＝PB，则点P的坐标为________．解析：∵P在z轴上，∴设P点坐标为(0,0，z)，又∵PA＝PB，∴利用两点间距离公式得z＝3.∴P点坐标是(0,0,3)．答案：(0,0,3)6．若A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M与点C间的距离为________．解析：利用中点坐标公式先求出M2，32，3，再利用空间两点间的距离公式求解．答案：5327．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则AB的最小值为________．解析：∵AB＝2a－12＋－7－a2＋－2＋52＝5a2＋10a＋59＝5a＋12＋54≥54，∴AB的最小值为36.答案：368．已知P1(－2，－3,1)，P2(1,2,3)，P(x，y，z)，且PP1＝PP2，则实数x、y、z满足的条件是________．解析：∵PP1＝PP2，由两点间的距离公式得x＋22＋y＋32＋z－12＝x－12＋y－22＋z－32，化简得3x＋5y＋2z＝0.答案：3x＋5y＋2z＝09．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．解析：∵AM＝3－02＋－1－12＋2－22＝13，∴正方体的体对角线长为213，∵3a2＝52(a为正方体的棱长)，∴a＝2393.答案：2393二、解答题10．已知三点A，B，C的坐标分别是(3，－2，－1)，(－1，－3,2)，(－5，－4,5)．求证：A，B，C三点共线．证明：因为AB＝3＋12＋－2＋32＋－1－22＝26，AC＝3＋52＋－2＋42＋－1－52＝226，BC＝－1＋52＋－3＋42＋2－52＝26，所以AC＝AB＋BC.故A，B，C三点共线．11．已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．(1)求△ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度．解：(1)由空间两点间距离公式得：AB＝1－22＋5－32＋2－42＝3，BC＝2－32＋3－12＋4－52＝6，AC＝1－32＋5－12＋2－52＝29.∴△ABC中最短边是BC，其长度为6.(2)由中点坐标公式得AC的中点坐标为(2,3，72)．∴AC边上中线的长度为：2－22＋3－32＋4－722＝12.12.如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O­xyz.点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．(1)当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；(2)当点Q为棱CD的中点，点P在体对角线AB上运动时，探究PQ的最小值．解：(1)由题意设正方体的棱长为a，则A(a，a,0)，B(0,0，a)，C(0，a,0)，D(0，a，a)，P(a2，a2，a2)．设Q(0，a，z)(0≤z≤a)，则PQ＝a22＋a2－a2＋a2－z2＝a22＋z－a22.由于0≤z≤a，所以当z＝a2时，PQ取最小值22a，此时Q为棱CD的中点．(2)Q为棱CD的中点时，点Q坐标为(0，a，a2)．此时BQ＝02＋a2＋a2－a2＝52a，AQ＝a2＋02＋－a22＝52a＝BQ.故△AQB为等腰三角形，由于点P在AB上运动，所当P为AB中点时，PQ取最小值22a.