【课堂新坐标】2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件第3章第5节两角和与差的正弦余弦和正切公式

上一页返回首页下一页高三一轮总复习第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式[考纲传真]1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破上一页返回首页下一页高三一轮总复习1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝；(2)cos(α±β)＝；(3)tan(α±β)＝__________________.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ上一页返回首页下一页高三一轮总复习2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝；(3)tan2α＝______________.2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α上一页返回首页下一页高三一轮总复习3．有关公式的变形和逆用(1)公式T(α±β)的变形：①tanα＋tanβ＝；②tanα－tanβ＝．tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)公式C2α的变形：①sin2α＝；②cos2α＝．(3)公式的逆用：①1±sin2α＝(sinα±cosα)2；②sinα±cosα＝2sinα±π4.12(1－cos2α)12(1＋cos2α)上一页返回首页下一页高三一轮总复习4．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)其中tanφ＝ba.a2＋b2上一页返回首页下一页高三一轮总复习1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×上一页返回首页下一页高三一轮总复习2．(教材改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C.－12D.12D[sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习3．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A．－45B.－15C.15D.45D[∵cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ.又∵tanθ＝－13，∴cos2θ＝1－191＋19＝45.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习4．(2017·云南二次统一检测)函数f(x)＝3sinx＋cosx的最小值为_______．－2[函数f(x)＝2sinx＋π6的最小值是－2.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习5．若锐角α，β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.π3[由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，即tan(α＋β)＝3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习三角函数式的化简(1)化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________.(2)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)22cosα[原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.](2)原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝121－sin22x2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练1]化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos2α·cos2β＝________.12[法一：原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.上一页返回首页下一页高三一轮总复习法二：原式＝1－cos2α2·1－cos2β2＋1＋cos2α2·1＋cos2β2－12cos2α·cos2β＝14(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋14(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－12cos2α·cos2β＝12.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习三角函数式的求值☞角度1给角求值(1)2cos10°－sin20°sin70°＝()A.12B.32C.3D.2(2)sin50°(1＋3tan10°)＝________.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)C(2)1[(1)原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝3.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°1＋3·sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×212cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°·cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习☞角度2给值求值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A.725B.15C．－15D.－725上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)(2016·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sinα＝2cos2α，则sinα＋π3＝()A.1＋358B.1＋538C.1－358D.1－538上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)D(2)A[(1)∵cosπ4－α＝35，∴sin2α＝cosπ2－2α＝cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝2×925－1＝－725.(2)由7sinα＝2cos2α得7sinα＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sinα－2＝0，∴sinα＝－2(舍去)或sinα＝14.∵α为锐角，∴cosα＝154，∴sinα＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习☞角度3给值求角(2014·全国卷Ⅰ)设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B.2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2上一页返回首页下一页高三一轮总复习B[法一：由tanα＝1＋sinβcosβ得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sinπ2－α.∵α∈0，π2，β∈0，π2，∴α－β∈－π2，π2，π2－α∈0，π2，由sin(α－β)＝sinπ2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.上一页返回首页下一页高三一轮总复习法二：tanα＝1＋sinβcosβ＝1＋cosπ2－βsinπ2－β＝2cos2π4－β22sinπ4－β2cosπ4－β2＝cotπ4－β2＝tanπ2－π4－β2＝tanπ4＋β2，上一页返回首页下一页高三一轮总复习∴α＝kπ＋π4＋β2，k∈Z，∴2α－β＝2kπ＋π2，k∈Z.当k＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.上一页返回首页下一页高三一轮总复习三角变换的简单应用已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R.【导学号：01772124】(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解](1)由已知，有f(x)＝1－cos2x2－1－cos2x－π32＝1212cos2x＋32sin2x－12cos2x＝34sin2x－14cos2x＝12sin2x－π6.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.5分上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)因为f(x)在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，且f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝34，所以f(x)在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)其中tanφ＝ba，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练2](1)(2016·山东高考)函数f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)的最小正周期是()A.π2B.πC.3π2D.2π(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为________．上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)B(2)1[(1)法一：∵f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)＝432sinx＋12cosx32cosx－12sinx＝4sinx＋π6cos