7 线性离散系统的分析与校正

第七章线性离散系统的分析与校正第7章线性离散系统的分析和校正•离散采样系统的基本概念•信号的采样与保持•Z变换理论•离散系统的数学模型•离散系统的稳定性与稳态误差第七章线性离散系统的分析与校正本章主要内容本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后，学习了采样过程及采样定理、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函数的概念及求取方法、离散系统时域分析方法，简要介绍了频率法、根轨迹法在离散系统中的应用以及离散系统的校正方法。本章重点学习本章，需要掌握离散系统的相关基本概念，特别是采样过程和采样定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程和脉冲传递函数等概念。在此基础上重点掌握利用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应，离散系统稳定性和稳态性能计算等内容。深入了解频率法、根轨迹法在离散系统分析中的应用，理解离散系统的串联校正和最少拍校正原理。第七章线性离散系统的分析与校正7-1离散采样系统的基本概念控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉冲形式或是数字（数码），由于信号在时间上是离散的这类系统称为离散系统。两类离散系统：（1）采样控制系统或脉冲控制系统离散信号是脉冲序列（时间上离散）（2）数字控制系统或计算机控制系统离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）第七章线性离散系统的分析与校正放大器与执行电动机炉燃料供应调节阀sTKs1炉温炉温设定值D(z)G(s)D/A放大与伺服电动机A/D温度检测与变换计算机温度设定值炉温炉温采样控制系统炉温计算机（数字）控制系统111seTs第七章线性离散系统的分析与校正计算机控制系统的原理框图第七章线性离散系统的分析与校正脉冲控制系统的特点：系统结构简单、投资少，适合于要求不高的场合。数字控制系统的特点：控制器的控制规律由计算机实现，使得控制规律比较灵活、控制精度高，而且可以借助计算机实现许多附加功能，例如系统运行状态检测、报警、保护等。性价比超过模拟控制器。在航空航天、军事、工业、公用事业系统中的各类控制系统已经广泛地运用计算机控制。数字控制系统中的两个关键部件：1、A/D转换器：把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字信号（二进制的整数），实际上具有对信号在时间点上采样，对信号幅值进行编码的作用。（采样编码器）一般要求A/D转换器具有足够的字长（8bit、10bit、12bit、14bit），要求量化单位q足够小。这样可以近似认为幅值的断续性可以忽略不记。同时，若采样编码的时间可以忽略，这时数字信号可以看成脉冲信号A/D转换器可以认为采样周期为TS的理想采样开关。第七章线性离散系统的分析与校正2、D/A转换器：把离散的数字信号转换为连续模拟信号。D/A转换器有两个工作过程：（1）解码，把离散的二进制数字信号转换为离散的模拟信号;（2）模拟信号复现，通过“保持器”将离散模拟信号复现为连续的模拟信号，该信号才能真正驱动模拟放大器等。第七章线性离散系统的分析与校正采样系统的特点12A/DD/A（）采样点间信息损失，带来量化误差和量化噪声；稳定性变差代价与相应的连续系统相比动态性能会有损失（）需附加，等部件。123（）利用数字机可以灵活的实现各种不同的控制律——适应性广；利益（）控制多台设备，协调生产过程——经济性好，功能强；（）利于实现生产过程的信息化和现代化管理。第七章线性离散系统的分析与校正离散采样系统的研究方法（1）用Z变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。（2）用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统进行分析、设计。第七章线性离散系统的分析与校正7-2信号的采样与保持采样过程：连续信号采样器离散信号)(*teT0理想采样过程的数学描述：)()()(*tteteT0)()(nTnTtt00*)()()()()()()(nnTnTtnTenTttettetee(t)e*(t)第七章线性离散系统的分析与校正采样过程的数学描述——采样信号的Laplace变换：**000()[()][()()]()[()]()nnTsnnEsLetLenTtnTenTLtnTenTe[()][()]nTsnTsLtnTeLte延迟定理第七章线性离散系统的分析与校正例1设，求的L变换)(1)(tte)(*te)1(1111)()(20*TsTsTsTsTsTsnTseeeeeeenTesEateteat,0,)(例2设为常数，求的L变换)(*te)1(11)()()(0)(0*TasaTTsTsTasnTasnnTsanTeeeeeeeesE第七章线性离散系统的分析与校正香农采样定理：如果采样器的输入信号具有有限带宽，具有最高频率为的分量，只要采样周期满足以下条件：)(teh)2(hs)(22sThs信号可以从采样信号中恢复过来。)(te)(*te信号保持：每个采样值能保持到下一个采样值到来之前，信号幅值没有变化。第七章线性离散系统的分析与校正零阶保持器：当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲，则输出为脉冲响应)(t)(tgh)(tgh)(1)(1)(Ttttgh脉冲过渡函数：幅值为1，持续时间为T对应的L变换sesesTttLtgLsGTsTshh11)](1)(1[)]([)(零阶保持器的频率特性/2/2(/)/2sin(/)1()2()22(/)sjTjTjTjjTshsseeeGjeejjTs/2第七章线性离散系统的分析与校正ss3s2)(jGhT零阶保持器的特性：（1）低通特性（2）相角滞后特性（3）时间滞后特性（平均滞后时间T/2）()hGj第七章线性离散系统的分析与校正7-3z变换z变化是从拉氏变换引申出来的一种变化方法，实际上是采用函数拉氏变换的变形。1、z变换的定义：*0()()()netenTtnT**00()[()][()]()()sTsTnTsnezzennEzZetLetenTeenTz*1ln()[()]szTEzZEs注：z变换只对离散信号而言，但为了简单，用表示。[()]Zet*[()]Zetz变换仅是在采样拉氏变换中用做了替换，将s的超越函数变为了z的幂级数或z的有理式，降低了分析难度。sTze第七章线性离散系统的分析与校正2、Z变换方法1）级数求合法根据z变化的定义，将展开求得。0()()nnEzenTz()ett()?Ez12300234()()[23][23]nnnnEzenTznTzTzzzTzzzz11231123234111[][23]zzzzzzdzzzzzzdz2211()1(1)(1)dTzEzTzTzdzzzz例1、,求解：第七章线性离散系统的分析与校正2）查表法（部分分式法）先求出拉氏变换，分解为多个典型分式之和，查表7-2得到每个分式对应的z变换，相加得到z变化。例2：1()()()Essasb求()?Ez解：11111()[][][]()()bTaTzzEzZZsasbabsbsaabzeze第七章线性离散系统的分析与校正3、z变换基本定理1）线性性质：**1212[()()]()()ZaetbetaEzbEz2）实数位移定理：延迟定理：[()]()nZetnTzEz超前定理：3）复位移定理：[()]()ataTZeteEze4）初值定理：0lim()lim()nzenTEz5）终值定理：1lim()lim(1)()nzenTzEz6）卷积定理：，则***0()()()()()()[()]kutetgtentgntekTgnkT()()()UzEzGz10100(())[()()][()()]()kknnkknnknnnnkZetkTzEzenTzzenTzenTzzenTz第七章线性离散系统的分析与校正4、z反变换*zE(z)e(t)e(t)唯一对应不唯一幂级数法(长除法)反变换部分分式法(查表法)留数法例1、求反变换10()(1)(2)zEzzz解一：用幂级数法：210()32zEzzz12345*()10[371531]()10[()3(2)7(3)15(4)31(5)]EzzzzzzettTtTtTtTtT第七章线性离散系统的分析与校正解二：部分分式法：()1010[(1)(2)]1110[](1)(2)(1)(2)21Ezzzzzzzzzz0.693()10[]10[]211zzzzEzzzzeztt0.693TT00()10[1]10[21]()()()10(21)()nnneteetenTtnTtnT查表第七章线性离散系统的分析与校正7-4离散系统的数学模型数学模型：差分方程、脉冲传递函数、离散状态空间表达式1、离散系统的数学定义：将输入系列r(n),n=0,±1,±2,…，变换为输出系列c(n)的一种变换关系，称为离散系统。记作本章研究线性定常离散系统()[()]cnFrn2、线性常系数差分方程对于一般的线性定常离散系统，k时刻的输出c(k)不但与k时刻的输入r(k)有关，而且还与k时刻以前的输入r(k-1)，r(k-2)，…有关，同时还与k时刻以前的输出c(k-1)，c(k-2)，…有关，这种关系可用n阶向后差分方程来描述：101()(1)()()()()nmckackacknbrkbrkbrkm第七章线性离散系统的分析与校正2、线性常系数差分方程也可表示为：10()()()nmijijckackibrkjmn解法：（1）迭代法（2）z变换法：对差分方程两端取z变换，并利用z变换的实数位移定理，得到z为变量的代数方程，然后对代数方程的解C(z)取z反变换，求得输出序列c(k)。差分方程的解可以提供线性定常离散系统在给定输入系列作用下的输入序列响应特性，但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响。第七章线性离散系统的分析与校正（1）脉冲传递函数定义：定义：在零初始条件下)]()([)]([)(11*zRzGZzCZtcnnznTrznTczRzCzG)()()(/)()(G(s))(zG)(tr)(tc)(*tr)(*tc)(zR)(zC3、脉冲传递函数：Z变换更为重要的意义在于导出线性离散系统的脉冲传递函数，给线性离散系统的分析和校正带来极大的方便。零初始条件：指t0时，输入脉冲系列各采样值以及输出脉冲系列均为零。第七章线性离散系统的分析与校正实际开环离散系统的脉冲传递函数：G(s))(zG)(tr)(tc)(*tr)(*tc)(zR)(zC在输出端增设虚拟采样开关第七章线性离散系统的分析与校正（2）脉冲传递函数的意义若输入为单位系列则输出称为单位脉冲响应系列，记作由于线性定常离散系统的位移不变性，当输入单位脉冲后移k个采样周期，成为，则输出单位脉冲响应系列亦向后移k个采样周期，称为将称为“加权系列”若输入采样信号为，则输出为令，则1,0()()0,0nrnTnTn()()cnTKnT[()]nkT[()]KnkT()KnT*0()()()nrtrnTtnT0()[()]()()()kcnTKn