2011年全国大学生数学建模竞赛 专科组 全国二等奖论文输油管最优布置方案

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：4179所属学校（请填写完整的全名）：韩山师范学院参赛队员(打印并签名)：1.林友珍2.林雁云3.黄旭斌指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：林海涛日期：2010年9月13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1输油管最优布置方案摘要本文研究在管线同侧的两家炼油厂到铁路的输油管线的最优布置问题。针对问题一：对一般模型，应用相关几何知识，求极值的方法，费尔马点定理，镜面反射，建立非线性规划模型，运用数学软件，得出管线布置的最佳方案：⑴当共用管线费用与非共用管线费用相同时（，的定义分别见图5.1.1.2、图5.1.1.3）。①当30o时，输油管线呈“”形,简称“弯刀形”，A,B厂油管交汇点的坐标为（0，a），最短路径长度为22()abal；②当30o时，输油管线呈“”形,简称“V字形”,A,B厂油管交汇点的坐标为,最短总路线为AEBE，最短路径长度为22lba;③30o且30o，输油管线呈“”形，简称“Y字形”。A,B两厂油管交汇点的坐标为(13(333)6bbl,1113226abl),最短总路线长度为32abl;⑵当共用管线费用与非共用管线费用不相同时，得到了三种对应的结果。针对问题二和问题三：得到管线建设费用的方程和对应的方案为：22222211(())()())()()()abgfbfpxaypcxyyyppplcby利用lingo编程，得出下表：交汇点坐标区域边界的纵坐标总费用（万元）问题二符号xyy1公司一5.451.857.4280.18公司二5.401.877.42295.3公司三5.481.847.33275.14加权估额5.451.857.33281.69问题三加权估额6.740.137.27250.96采用灵敏度分析，研究微观变化对优化模型的整体影响。,0alba2关键词：交汇点；极值；费马点判定定理；非线性方程最优化问题；灵敏度分析一、问题的提出某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，我们建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，设计出管线设置的最佳方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2.两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：设计出管线布置方案及计算相应的费用。3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。设计出管线最佳布置方案及计算相应的费用。二、问题的分析工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）21242032.1问题一的分析应用相关几何知识，将复杂的线路布置方案简化成的几何问题。结合求极值的方法，费尔马点定理，镜面反射等，建立优化模型。设计最优方案，关键是找到汇合点,（汇合点即为公用管道与非公用管道连接处）汇合点的改变，会影响管线的分布。以汇合点为突破口，设法找出a,b,l之间的不同的关系，相应汇合点的变化情况，从而得出管线布置方案。由于本题的a,b,l取值具有普遍性，研究问题时，应作综合考虑。2.2问题二的分析铺设在城区的管线需要增加拆迁和工程补偿等附加费用，因此位于城区段的管线需作进一步考虑，三家工程咨询公司的估算数据应作相应处理。建立非线性规划模型，利用lingo软件，求出最优解。2.3问题三的分析在问题二的基础上做简单的价格转换。三、基本假设1.假设铁路线呈直线。2．假设输油管线呈直线形，不考虑地形对输油管道的影响。为了适应地形的变化时，输油管道需要改变平面走向须采用弹性弯曲、弯管或弯头等。3.问题二中假设不同管线的铺设价格一致。4．炼油厂B的垂直距离大于炼油厂A的垂直距离。5．假设甲级资质咨询公司的估算结果比甲级资质咨询公司准确，比例定为7：3。四、定义符号说明共用管线：指即可输送A炼油厂成品油，又可输送B炼油厂成品油的输油管线非共用管线：只能单独输送A炼油厂成品油或单独单独输送B炼油厂成品油的输油管线交汇点：公用管道与非公用管道连接处a：炼油厂A到铁路线的垂直距离b:炼油厂B到铁路线的垂直距离c：区域Ⅰ内铁路线的长度l:炼油厂A和炼油厂B的沿铁路方向的水平距离k:等于/ac，即炼油厂A到铁路线的距离与两厂之间沿铁路方向水平距离的倍数关系t:等于/bc，即炼油厂B到铁路线的距离与两厂之间沿铁路方向水平距离的倍数关系:非共用管线与共用管线费用的比值：等于arctanabl，即炼油厂A到铁路线的垂直距离与炼油厂B到铁路线的垂直距离之和与炼油厂A和炼油厂B的沿铁路方向的水平距离的比值：等于arctanbal，即炼油厂A到铁路线的垂直距离与炼油厂B到铁路线的垂直距离之差与炼油厂A和炼油厂B的沿铁路方向的水平距离的比值1p：等于7.2万元/千米4fp：附加费用单价（铺设城区管线所增加的拆迁和工程补偿等的费用）（万元/千米）ap：等于5.6万元/千米，即输送A厂成品油的油管的铺设价格bp：等于6.0万元/千米，即输送B厂成品油的油管的铺设价格gp：等于7.2万元/千米，共用管线的油管的铺设价格1g:共用管线费用与非共用管线费用相同时的管线最短路径长度2g:共用管线费用与非共用管线费用不同时的管线最短路径长度。f：铺设输油管的最省费用1y：输油管线在区域边界的点到铁路线的垂直距离x：输油管线交汇点到铁路线的垂直距离y：输油管线交汇点到炼油厂A的垂直距离五、模型的建立与求解5.1问题一的求解假设从炼油厂A出发的管线和从炼油厂B点出发的管线在E处汇合（E点一定存在，因为两厂的油最终都要到达同一个站点），设E点的坐标为(,)xy，以铁路线自左向右的方向为x轴，以过炼油厂A并垂直于铁路线的方向为y轴，建立直角坐标系如图5.1.1.1。针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。22221()()()gxyalxybyE（x,y）的存在区域分析【1】：根据解析几何的知识，为了取得最值，E不可能在四边形OABC的外边。下面由数学分析求极值的方法求解E点，即对g或f关aEl0AybFCxB图5.1.1.15于x,y求偏导数，令其等于0,判断黑赛矩阵的正定性及元素符号，从而确定极值点的坐标。1．共用管线费用与非共用管线费用相同的情形（=1）：输油管线的总长为AE+BE+EF,即函数22221()()()gxyalxyby，通过MATLAB[2]程序，(详细程序见附录)求得：13(333)61113226xbalyabl，(1)令y=0,此时交汇点在铁路线上，设为E。为使AE+BE最短，有物理学的镜面反射原理可知：作A关于l的对称点'A，连接'AB交于l于一点,此点即为点E。设BED为，下面分析的大小,过点'A作''AD平行于l交BD的延长线于点'D(如图5.1.1.2)。0y，即1130226abl33abl3tantan''3abBADl，30o，120oAEB进一步，当30o时即33abl此时1802120ooAEB，此恰为费马点的判定定理【4】：如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点，此时AE+BE仍为最小。故当30o时，根据镜面反射原理，可知输油管的汇合点在铁路线上，最短DEB'D'AAaa+bl图5.1.1.26距离为AEBE，即'AB，过'AB的直线方程为bayaxl，交汇点E坐标为,0alba,费用为221glba。管线最佳布置方案为图5.1.1.2。（2）令0x，此时交汇点在AO上，设为E，总路线为AEBEEO，为使AEBEEO最短，由三角形边角的关系，ABEB，故E点与A点重合。设BAF为，下面分析的大小。0x即33bal3tan3bal30o进一步，当30o时，33bal，作30oFAG，设由B出发的输油管交AG于'B，此时，'30oBAF，因为由B出发的输油管必与AG交于某点，若为'B，则过'B及A到达铁路线的最短路线由前面的30o的情形可知经过A、B、'B的距离为''BBBAAO，由前面论证，''BBBAAO为最短，''BBABAB,故当且仅当'BA时，''BBBAAOBAAO最短，此时E坐标为(0,a),最小值为22()AOBAabal（3）从炼油厂A出发的管线和从炼油厂B点出发的管线在E处汇合（E点一定存在，因为两厂的油最终都要到达同一个站点），由费马点[4]性质知点E只能落在区域AODB,方能得到最小路径。FDOAEaa-b图5.1.1.3AOBGF'BD30o图5.1.1.4B713(333)61113226xbblyabl解得3tan33tan3balabl即30o且30o，这时费用最省，函数为2211113(333)(333)33226111133333333322611113333233323322623311()362232fbalablablbalablablbalablabllababl最佳管线布置方案见图5.1.1.5结论：⑴当共用管线费用与非共用管线费用相同时（,的定义见图5.1.1.2），①当30o时，输油管线呈“”形,简称“弯刀形”，A,B厂油管交汇点的坐标为（0，a），最短路径长度为22()AOBAabal；②当30o时，输油管线呈“”形,简称“V字形”,A,B厂油管交汇点的坐标为,最短总路线为AEBE，总长为221glba;ECAD图5.1.1.5,0albaB8③30o且30o，输油管线呈“”形，简称“Y字形”。A,B两厂油管交汇点的坐标为(13(333)6bbl,1113226abl),最短总路线长度为32abl。2．考虑共用管线和非共用管线造价不同的情形：设非共用管线与共用管线的倍数为λ(一般认为1