15附录I截面的几何性质解析

作者:黄孟生附录Ⅰ截面的几何性质一、截面的面积矩和形心1、截面的面积矩yASzdAzOzOyydAAzASydA面积矩:同一截面对于不同的坐标轴面积矩不同；面积矩可正，可负也可为零。2、截面的形心AzcydASyAAzcycSyASzA如果截面对某一轴的面积矩等于零，则该轴必过截面的形心；反之，截面对于通过形心的轴的面积矩必等于零。zOzOyzcydACyCAAyczdASzAA形心:3、组合截面的面积矩和形心面积矩形心1nyiciiSAz1nziciiSAy11niciicniiAyyA11niciicniiAzzAccC1C2C3zy例1：求图示工字形截面的形心位置。zy15050cc5050C1C2C3250形心11niciizcniiAySyAA11niciyicniiAzSzAA15050(255)18050(140)25050(25)150501805025050cy0cz120mmzy15050cc5050C1C2C3250ycC二、截面的惯性矩和惯性积1.惯性矩:zOyzydAA1.Iy,Iz恒为正;2.若z⊥y，极惯性矩Ip=Iy+Iz。2yAIzdA2zAIydA2.惯性半径:22,,yyyyzzzzIiIAiAIiIAiA====如有一根坐标轴是截面的对称轴，则截面对这对轴的惯性积必为零。当Iy0z0=0时，称y0、z0——主惯性轴（主轴）。当主轴通过截面形心时，yc、zc——形心主轴。Iyc、Izc——形心主惯性矩。3.惯性积:zOyzydAAyzAIyzdA惯性积可正，可负也可为零。•(1).如果截面有一根对称轴，则该轴与之正交的形心轴即为形心主轴；yczzcy•(2).如果截面有两根对称轴，则该对对称轴即为形心主轴；zycczy•(3).如果截面有两根以上的对称轴（如圆，正方形等正n边形），则任一对正交的形心轴即为形心主轴，且截面对任一形心主轴的惯性矩均相等。cyzzycy'z'y'z'Iy=Iz=Iy'=Iz'=…..•(4).如果截面没有对称轴，形心主轴如何确定？例2：计算矩形对y轴和z轴的惯性矩。ydyzdzzOyh/2h/2b/2b/2312yhbI=2zAIydA/22/2hhybdy312bh例3：计算圆形对其直径轴y和z的惯性矩。设圆的直径为d。zydOydyφ4z64ydII4z32yPdIII2zAIydA2cosAyddy22/222/2sin(cos)42ddd2cosdAzdyddy464dsin2dycos2ddyd三、惯性矩与惯性积的平行移轴公式y∥yc，z∥zc。则：——平行移轴公式。2cyyIIbA=+2ccczzyzyzIIaAIIabA=+=+同理yc、zc为一对形心坐标轴，已知截面对该对轴的Iyc,Izc,Iyczc;zOCyzyyczcyczcabdA2()yAcIzbdA1inyyiII21icinyiiIbA1inzziII组合截面的惯性矩和惯性积：11iicicinnyzyzyziiiiiIIIabA21icinziiIaAzy15050cc5050C1C2C3250ycC21icinzziiIIaA3215050(255120)15050123250180(140120)18050123225050(12025)25050123336450150180505025081.010mm121212yI6428.610mmzy15050cc5050C1C2C3250ycC例4图示的矩形中，挖去两个直径为d的圆形，求余下部分(阴影部分)图形对z轴的惯性矩。yzdhb解此截面对z轴的惯性矩为zzz2III圆矩3z12bhI矩42422zz5()642464cddddIIaA圆3434z55212641232bhdbhdIyzdhb例5由两个20a号槽钢截面组成的组合截面如图(a)所示。设a=100mm，试求此组合截面对y，z两根对称轴的惯性矩。azyz0czcyc解：由附录一可查得图（b）所示一个20a号槽钢截面的几何性质：c2244y44z028.8310mm12810mm1780.410mm20.1mmcAIIz因此，组合截面Iz=2Izc=2×1780.4×104=3560.8×104mm42yyc02()2aIIzA42244100212810(20.1)28.83103089.410mm2azyz0czcyc四、惯性矩和惯性积的转轴公式zOyzydAcossinyyzcossinzzy22yAzAIzdAIydA惯：性矩yzAIyzdA惯积性：y'z'ααz'y'已知：Iy，Iz，Iyz及α；求：Iy'，Iz'，Iy'z'。zOyy'z'zydAy'z'ααα以逆时针方向旋转为正cos2sin222yzyzyyzIIIIIIcos2sin222yzyzzyzIIIIIIsin2cos22yzyzyzIIIIyzyzIIII五、主轴和主惯性矩设yo，zo——主轴，令αo为主轴与原坐标轴的夹角02tan2yzyzIIIa-=-0000sin2cos202yzyzyzIIIIaa-=+=zOyzydAy0z0α0α000yzIImaxminII=22()22yzyzyzIIIII如果截面没有对称轴，形心主轴的确定:2tan2yzoyzIII2、过形心取一对正交轴y,z，利用平行移轴公式计算截面对这对轴的惯性矩Iy，Iz和惯性积Iyz。3、利用公式计算主轴位置。4、利用公式计算主惯性矩。1、确定形心位置；00yzIImaxminII=22()22yzyzyzIIIII思考题：大致判断图示截面对哪根形心主轴的惯性矩最大？yz例6计算图示截面的形心主惯性矩.解:确定形心的位置:利用平行移轴公式计算对形心轴y，z的惯性矩和惯性积:20IⅡⅢ2020601001403060.8Cyz44444436910mm129010mm24010mmyzyzIII确定形心主轴的位置:20IⅡⅢ2020601001403060.8Cyzy0z0002tan20.521,76.24yzyzIII-===--oaa00yzIImaxminII=22()22yzyzyzIIIII=4444135010mm31010mm由公式计算形心主惯性矩的大小