二次函数的值域

二次函数的值域一、定义域为R的二次函数的值域;44,,0;,440442022222abacaabacyaabacabxayRxacbxaxy值域为时当时当为时的值域是先把它配方当求二次函数另外也可以从函数的图象上去理解。4,4)1(32:22值域为如xxxy21-121-13021-121-1302b4acbA(,)2a4a2b4acbA(,)2a4a二、定义域不为R的二次函数的值域练习322xxy、的值域当x∈(2,3]时,求函数例1[3,0]3,2(yx时从图象上观察得到当)4,1[)1(x322xxy的值域在下列条件下求函数)11,2[)1(y答24x4321y1(1,4)3-1求函数的值域sincos21y解：由已知得22sinsiny2112(sin)48[sin11，∴当x=1时max3y∴当x=时14min18y∴函数的值域为1,38设点p(x,y)是椭圆C:22(2)146xy上的动点，求x2+y2的最值解得04x解：由已知得2236(2)02yx222236(2)2xyxx22116(6)1822xxx∴当时，0x22xy取最小值0∴当时，4x22xy取最大值16设计意图：利用简单的原理解决复杂的问题解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例2求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。2yxo13a∴当x=0时，ymax=3当x=a时，ymin=a2-2a+31.当0a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，三、定函数动区间的二次函数的值域∴当x=0时，ymax=3当x=a时，ymin=a2-2a+3,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2当x=0时，ymax=3yxo1322a解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例2求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。2.当1a2时1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，,函数在[0,1]上单调递减,在[1，a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2,当x=a时,ymax=a2-2a+3yxo132a2例2求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。3.当a≥2时2.当1a2时,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2;当x=0时，ymax=3解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，∴当x=0时，ymax=3;当x=a时，ymin=a2-2a+3变式设函数f(x)=x2－2x－2在区间[t，t+1]上的最小值是g(t)，求g(t)的解析式。解：由已知可知函数f(x)对称轴为x=1(1)当t＞1时，f(x)在区间[t，t+1]上是增函数，∴g(t)=f(t)=t2－2t－2(2)当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g(t)=f(1)=－3(3)当t+1＜1，即t＜0时，f(x)在区间[t，t+1]上是减函数，∴g(t)=f(t+1)=t2－3综上，得g(t)=t2－2t－2(t＞1)－3(0≤t≤1)t2－3(t＜0)四、动函数定区间的二次函数的值域例3、求在上的最值。2()3fxxax01x1、由图（1）得：当，即时，12a2amaxmin(0)3(1)4yfyfamaxmin(1)4(0)3yfayf2、由图（2）得：当，即时，02a0a图（1）102ax图（2）102ax例3、求在上的最值。2()3fxxax01x3、由图（3）得：当，即时，1022a10amax2min(1)4()324yfaaayf4、由图（4）得：当，即时，1122a21amax2min(0)3()324yfaayf0图（3）2ax121图（4）2ax12122()4422fxxaxaaa已知函数在区间[0，2]上的最小值为3，求正数的值。例4求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]2a故a-1,-,∴对称轴在x=-的右边.2a2121∴(1)当-1≤a时,即a≥0时,由二次函数图象2a可知:ymax=f()=2a4a24a22axyo-1a五、动函数动区间的二次函数的值域(2)当a时,即-1a0时,2a综上所述:当-1a0时,ymax=0当a≥0时,ymax=例4求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]2a故a-1,-,∴对称轴在x=-的右边.2a2121∴(1)当-1≤a时,即a≥0时,由二次函数图象2a可知:ymax=f()=2a4a2(2)当a时,即-1a0时,2a4a24a22aaxyo-1由二次函数的图象可知:ymax=f(a)=0课堂小结：对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住二次函数图象的开口方向，对称轴及定义区间，应用数形结合法求解。1、二次函数在闭区间的最值的求法（两看法）①、看开口方向②、看对称轴在闭区间的相对位置3、在问题转化过程中注意挖掘题设中的隐含条件，给出正确的变量范围4、本节体现数学思想主要有数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。2、常见题型①定轴定区间②动轴定区间③定轴动区间[的值。，求上的最大值为，在区间、已知函数aaxxxf4211212的取值范围。内恒成立，求实数在、不等式axaaaxx313106269222[的最大值。）求的函数表达式；（求上有最小值，记作，在区间、已知函数agagagaxxxf2)1(1132232思考讨论：