梯形的定义与性质

16.3梯形的性质梯形平行四边形只有一组对边平行四边形两组对边分别平行1、梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形平行四边形一、梯形2、梯形的有关概念：（1）梯形平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫做下底）。HEFG图2（2）不平行的两边叫梯形的腰。（3）两底的距离叫做梯形的高。FEHG图1ABCD3、两种特殊的梯形：（1）一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形（如图3）。ACBD图3（2）两腰相等的梯形叫做等腰梯形（如图4）。DCBA图4等腰梯形直角梯形四边形两组对边分别平行只有一组对边平行平行四边形梯形有一个角是直角两腰相等矩形ABCD1、等腰梯形的两底平行2、等腰梯形的两腰相等3、等腰梯形同一条底边上的两个内角相等AD∥BCAB=DC4、等腰梯形的对角线相等AC=BD5、等腰梯形是轴对称图形，通过两底中点的直线是它的对称轴。∠B=∠C，∠A=∠D一、等腰梯形的性质1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等DCBA图5已知：如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC。求证：∠B=∠C。证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E，得到△DEC。E∵AD∥BC，DE∥AB∴AB=DE∵AB=DC∴DE=DC∴∠DEC=∠C∵DE∥AB∴∠DEC=∠B∴∠B=∠C研究梯形时，常常需要添加适当的辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形，此处是移动一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线。∴四边形ABED是平行四边形等腰梯形的性质1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等。已知：如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC。求证：∠B=∠C。DCBA图6证明：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、FFE这也是研究梯形时常用的辅助线作法，即从同一底的两端作另一底的垂线段，它可把梯形分成一个矩形和两个直角三角形（如果是等腰梯形，所得到的两个直角三角形全等）。∴AE∥DF，∠AEB=∠DFC=900∵AD∥BC∴四边形AEFD是平行四边形∴AE=DF在Rt△ABE和Rt△DCF中AEDFABDCì=ïïíï=ïî∴Rt△ABE≌Rt△DCF∴∠B=∠C等腰梯形的性质2：等腰梯形的对角线相等ABCD已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC12求证：AC=BD证明：∵ABCD是等腰梯形∴∠ABC=∠DCB又∵AB=DCBC=CB∴△ABC≌△DCB∴AC=BDO（OB=OCOA=OD）（等腰梯形同一条底边上的两个内角相等）1、有一组对边平行的四边形是梯形()2、等腰梯形的两个底角相等()3、等腰梯形的两条对角线相等()××√1、判断１、对于等腰梯形，下列结论错误的是()A.只有一组相等的对边B.只有一对相等的内角C.只有一条对称轴D.两条对角线相等B２、有两个角相等的梯形是（）A．等腰梯形B．直角梯形C．等腰梯形或直角梯形D．一般梯形C2.选择CADB1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AB⊥AC，那么∠ACD=____,∠D=_______。4.梯形ABCD中,如果DC∥AB,AD=BC,∠A=60°,DB⊥AD.(1)∠DBC=,∠C=;(2)CD和BC相等吗?为什么?30°120°DCBA1、梯形有关概念及其性质2、等腰梯形的性质等腰梯形对称性对角线角边两底平行两腰相等同一底上的两个内角相等（对角互补，同一腰上的两个角也互补）两条对角线相等轴对称图形ABCDE1.四边形ABCD是等腰梯形，延长两腰BA，CD后交于点E，问△EBC和△EAD的形状如何？证明：∵ABCD是等腰梯形∴∠B=∠C∴EB=EC∴△EBC是等腰三角形∵AD∥BC∴∠B=∠EAD∠C=∠EDA∴EA=ED∴△EAD是等腰三角形∴∠EAD=∠EDA又∵∠B=∠C（等腰梯形同一条底边上的两个内角相等）2.如图：已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=4，AD=3，BC=7，求∠B的度数。ABCDE433444y如图：已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC⊥BD，垂足为O，AD=5BC=9，求梯形ABCD的面积。ABCDO59xxy4..如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,E是DC延长线上的一点,BE=BC,试说明∠A和∠E的关系.EDCBA5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=60°,AD=10,AB=14,求BC的长.ABCDE