物理竞赛课件8：功与能

利用图象求功之方法适用于当力对位移的关系为线性时;或在表示力对位移关系的F-s示功图中F(s)图线与s轴围成的图形“面积”有公式可依时;因为在F-s示功图中，这种“面积”的物理意义就是功的大小．方法A♠sF0xW锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的能量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入深度x成正比，试求木桩每次打入的深度比．若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？专题8-例1本题中的阻力f为一与位移x成正比的变力，即f=kx示功图xF0x1x2x3……lW0W0W0图中各阴影“面积”表示第1、2、3……次锤击中，木桩克服阻力做的功，数值上等于锤传给木桩的能量，设为W0．由图2222123000023nxxxx:::::::123123nxxxxn:::::::12312321nnxxxnx::-:::::1当xn=l时，由11nxxn::13lln9n次某质点受到F=6x2的力的作用，从x=0处移到x=2.0m处，试求力F做了多少功？专题8-例2本题中的变力力F与位移x成F=6x2关系，F-x图线为抛物线示功图24x/mF/N02W图中“面积”表示F力做的功“面积”由阿基米德公式23S弓底高由示功图得F力做的功12WSS矩弓12224424J2316J如图所示，一质量为m，长为l的柔软绳索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为μ．⑴柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？⑵由这一位置开始运动，柔绳刚离开桌面时的速度多大？⑴设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x0，则由00mmxglxgll0min1lx⑵柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面，由动能定理212GfWWmv其中，重力功等于绳重力势能减少0022GxmlmWlgxgll2202mglxl摩擦力为线性变力：fmFxgl示功图xFf0l-x00mlxglWfx202fmglxlW222002glxglxvll1vgl一质点的质量为m，被固定中心排斥，斥力的大小F=μmr，其中r为质点离开此中心的距离．在开始时，r0=a，v=0，求质点经过位移a时所达到的速度大小．斥力为线性变化力！ma示功图rF0aa2maWF对示功图求梯形阴影“面积”232122Wmaamaa对质点经过位移a的过程，由动能定理223122mamv3va跳水运动员从高于水面H＝10m的跳台自由落下，运动员的质量m＝60kg，其体形可等效为长度l＝1.0m、直径d＝0.30m的圆柱体，略去空气阻力，运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面，F量值随入水深度y变化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与OY和OF重合，为了确保运动员绝对安全，试计算水池中水的h至少应等于多少？5mg/2YF0h对全过程运用动能定理:00mgHhWW浮阻其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆“面积”:示功图W阻1542mgWh阻入水过程中，浮力随入水深度y作线性变化24dFgy浮示功图YF浮0l24gld2124gldWl浮242dlWglhl浮215100428dmhlhmh1603m161h4.9m元贝驾考驾考宝典2016科目一科目四如果在某一位移区间，力随位移变化的关系为F=f(s)，求该变力的功通常用微元法，即将位移区间分成n（n→∞）个小区间s/n，在每个小区间内将力视为恒定，求其元功Fi·s/n，由于功是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段位移中所做的功为：方法B♠1limniniWW在数学上，确定元功相当于给出数列通项式，求总功即求数列n项和当n→∞时的极限．半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池内的水完全吸尽，至少要做多少功？专题8-例3rri沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n层，每一元层水的高度rhnr1i2每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i层水柱底面的半径这层水的质量22irrrin22irrmrinn将这层水吸出至少应做的元功是22irrrWriginnn将池水吸尽至少要做的功是34241limniniiiWWgrnn433332411lim123123ngrnnnn224241111lim24nnnnngrnn41g4r一个质量为m的机动小车，以恒定速度v在半径为R的竖直圆轨道绕“死圈”运动．已知动摩擦因数为μ，问在小车从最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？专题8-例4小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是变力，故而摩擦力为一随位置变化的力！xyOAB当小车运动在A处元圆弧段时nmgNAA2sinAAvNmgmRAAfN2sinAvmgR摩擦力在A处元功为2sinAAvRWmgRn当小车运动在与A关于x轴对称的B处元圆弧段时BAmgNBB2sinBBvNmgmRn续解iinBBfN2sinBvmgR摩擦力在B处元功为2sinBBvRWmgRn小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为22iABvR查阅摩擦力在半圆周轨道上的总功/2211lim2nniWmvn2mv计算水平直径以下段摩擦力的功：2/21limsinnnivRWmgiRnn下续解2/2/211limsinnnniivRRmmgiRnnn2/2/211limsinnnniivRRWmmgiRnnn下2/21lims2innnimgRinnnmvn2limsinsin2sin22nnmvnmgRnnnnnsin1sinsin22sin2nnannnnS三角列前和数项22sinsin44limsin22nnnnnmgRnnnmvn222sinsin44limsin222nnnmvnnnnmgRnn22WmvmgR下水平直径以上段摩擦力的功：22WmvmgR上将板沿板长均分为n（n→∞）等份fiMFgn将木板在水平地面上绕其一端转动角α，求所需要做的功．木板长度为L，质量为M，木板与地面之间的动摩擦因数为μ．Lin元摩擦力做功的位移为12iiLxin摩擦力对i段做的元功为iMginnWL则对木板的功1limnniMLWginn211limnniMgLin211lim2nnnMgLn12MgL各元段摩擦力为ix从一个容器里向外抽空气，直到压强为p．容器上有一小孔，用塞子塞着．现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲进容器？设外界大气压强为p0，大气密度为ρ．pp0Δxs设小孔截面积为s，打开塞子后孔外侧厚度为Δx的一薄层空气在内、外压强差作用下冲入容器，获得速度v0，由动能定理:2012PPSxSxv002pvp这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便是相应的功量．方法C♠WE如图所示,一质量分布均匀的粗绳长2a，质量为2m，两端悬于水平天花板上相距为a的两点而悬垂静止，其重心位于天花板下方b处.现施一力于绳之最低点C并将绳拉直至D点，求拉力所做的功．D3cos3024aha3224pEmgbhmgba由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花重力势能增加了由功能原理，拉力功为324pWmgbaE专题8-例5由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量．Chh一质量为m的皮球，从高为h处自由下落（不计空气阻力），反弹起来的高度为原来的3/4，要皮球反弹回h高处，求每次拍球需对球做的功专题8-例6在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功，使球的动能减少．地面对球的弹力功是变力功!牛顿碰撞定律：若两球碰撞前速度依次为v10、v20，碰撞后速度为v1、v2，则碰撞后两者的分离速度v2－v1与碰撞前两者的接近速度v20－v10成正比，比值e称恢复系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即212010vvevv从h高度自由下落再反弹的全过程,地面弹力功W1:13144Wmghmghmgh从h高度拍下再反弹原高的全过程,地面弹力功W2:2WWmghmgWh拍拍续解从h高下落未速度即与地接近速度:212mghmv自接近由2vgh自接近212Wmghmv拍拍接近由22Wghmv拍拍接近从地面反弹的起跳速度即与地分离速度:23142hmgmv自分离由32ghv自分离212mghmv拍分离由2vgh拍分离同一球与同一地面碰撞,恢复系数相同:vvvve自接近拍分离自分离拍接近222322ghWghhhggm拍13Wmgh拍如图所示，有两个薄壁圆筒．半径为R的圆筒绕自己的轴以角速度ω转动，而另一个圆筒静止．使两圆筒相接触并且它们的转轴平行，过一会儿，由于摩擦两圆筒开始做无滑动的转动．问有多少机械能转换成内能？（两圆筒的质量分别为m1、m2）m1Rm2ω1ω根据题意，一段时间内m1线速度从ωR→ω1R,而m2线速度从0→ω2r=ω1R这种变化是因为两者间有大小相等的一对力作用，这对力做功使系统机械能(动能)转换成内能!对系统,由动能定理:2211211122QmRmmR又,由牛顿第二、三定律,一对力大小相等:11211122RRRFmFmtt1112mmm2212122mmRmm功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量度．功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据．功能关系基本认识♠功能关系的具体认识♠功能对应规律借助功与能的具体对应关系，对运动的功的量度问题作出正确的操作.⑵确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述；⑶分析所研究过程的初、未两状态的动能，完成等号右边对动能变化的表述；⑴选定研究的对象与过程;示例0ktkWEE0gpgpgtWEE0QpqpqtWEE※重力功量度重力势能的变化：※外力（可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它力）做的总功量度动能的变化：※弹力功量度弹性势能的变化：动能定理※引力功量度引力势能的变化：0GpGpGtWEE0tWEE非※非重力弹力功量度机械能的变化：势能定理功能原理※电场力功量度电势能的变化：0QpepetWEE（W非可以是摩擦力功、电场力功、安培力功或其它非重力、弹簧弹力的功）返回如图示，一水塔的蓄水箱底