《理论力学》期末复习资料

一、质点运动学：rdtvdardtrdvrr1、直角坐标分量式：zkyjxirzvayvaxvazzyyxx2、平面极坐标分量：rrr0rvrvrrrarrar223、自然坐标分量dtdsvdtdvavan2ddszvyvxvzyx大小大小)(),(ttrr1总复习二、质点动力学：牛顿运动定律_____三条推论、自然坐标分量式平面极坐标分量式直角坐标分量式3.2.1amF三、非惯性系力学：'rv'vv.10'v2)'r('rdtda'aa.20'2)'(''.30vmrmrdtdmamFam0FmrFududuh)()(22220zFyFyz,0xFzFzx0yFxFxy2比耐公式四、质点组动力学1、三条基本定理：动能定理及其守恒定律对质心的动量矩定理：—律动量矩定理及其守恒定质心运动定理：—动量定理及其守恒定律.(3)F'rdtJd.(2)Frm).1(ieiicieic2、柯尼希定理：iiicrmmvT22'2121对平面平行运动刚体：222121ccImvT3、变质量运动微分方程：ieiFudtdmdtvmd)(3五、刚体力学：（平面平行运动）1、运动学：①特点：对任何基点都相同。②刚体上任何一点的速度和加速度)'(''rrdtdaarvvApAp③瞬心：纯滚动条件—0'v0,vArrx,rx,rxccc作水平面纯滚动：2、静力学(平衡条件)：iieiiiieiFrMF0043、动力学：基本动力学方程：iiCiiyiixcMFFxmccIymiiciincniicFmaFmaFrm222mR52I,ml121I21I球杆圆盘，mR动能定理：EVI21mv21d)I21mv21(d2c2c2c2c机械能守恒W六、分析力学：1、虚功原理：0]zFyFxF[,0rFiiiziiyiixiii适用条件：理想约束，质点组和刚体可求约束力5解题步骤：①选对象和确定q②找主动力③建立坐标系，列出虚功方程④将虚位移化成独立变量⑤令独立的虚位移前的系数等于零，解出结果2、拉氏方程：sQqTqT,2,1,dtdsqLqL,2,1,0dtd解题步骤：①选研究系统②取广义坐标③求或QL)(VTL④列出拉氏方程⑤解出结果6•1、判断一个力场是不是保守力场的判据是？•力场存在势能的充要条件是？保守力做功特点？质点组机械守恒条件是？•2、由？定理可推出可变质量动力学方程，其表达式为？•3、在定、动坐标原点重合的空间转动坐标系中，质点所受的牵连惯性力有？科氏惯性力为？•4、比耐公式适用条件？一质点受有心力作用，负号表示有心力为？力，则列出求解其轨道的微分方程为？•5、质点系的内力不能改变？则能改变？概念举例：2rkmF7•6、水面上浮着一只小船。如果船上一人向船尾走去，则船向？移动，若水的阻力不计，人和船组成的系统其质心速度为？质心加速度为？•7、研究平面平行运动刚体的运动学规律时基点可任意选取吗？研究其动力学问题时基点可任意选取吗？通常取哪一点为基点？•8、作平面平行运动刚体上任一点的速度公式和加速度公式为？•9、在光滑的水平面上放一半径为r，质量为m1的圆环，有一质量为m2的甲虫沿此环爬行，则由甲虫和圆环组成的系统所受的外力矢量和为？质心加速度为？8例1、已知质点的运动方程：求轨道、速度、加速度的大小。计算题举例：ct21,aerbtct2解：轨道方程为：cbaer2btaberbteabr2c212222242cbrrrv)4()2()(22222cbrrrrra9例2、一质点作平面运动，在选定的极坐标系下径向速度和横向速度分别为恒量c1和c2。求质点的轨迹方程和加速度的大小。设t＝0时r=b，θ=0。0r0rr221rccrrrc2rccrrrarcrrrar21222222221222ccrcaaar解：dtcdrrbt01质点的轨道方程为:已知tcbr1]ln)[ln(1120012btcbccdttcbcdtbrccln1221ccber1cr2cr10例3、已知质点的运动方程x=2*m*sin(πt/3)，y=2*m*cos(πt/3)。求其轨道方程和曲率半径，切向加速度和法向加速度。0dtdvamvan2292tmx3cos32tmy3sin32222294myxv解：2224myx质点的轨道方程为m211例4、一质点受有心力作用，列出求解其轨道的微分方程。2rkmF解：222hkududmrFududuh)()(222222kmurkmF例5、如下图所示，船长为L=2a，质量为M的小船，在船头上站一质量为m的人，如不计水的阻力。试证当人非匀速从船头走到船尾时，船移动的距离为多少?解：00cvt时ieiF0)(0camM)x(mMxx1010c0amM)x(mMxx11caMm2mxxxx101cc0aLx01213例6、如图所示质量为m的质点，在光滑的水平圆盘面上沿着弦AB滑动，圆盘以匀角速ω绕铅重轴c转动，如质点被两个弹簧系住，弹簧的倔强系数各为k，质点在O点时弹簧未形变。求质点的振动周期。yx21TTrm2vm2hcoscos22rxxhxxmxkxm202xmmkx222mkmxmrmxkcos2解：14例7、有一链条，堆放在一倾角为的斜面底边，今用一沿光滑斜面向上的力F拉链条，使链条以加速度a沿斜面作匀加速运动，试求此力F与链条在斜面上的长度x函数关系。设链条的质量线密度为。mg解：0u根据可变质量运动微分方程可得：sin)(mgFdtmvd2sinsinvmamgdtdmvdtdvmmgFaxv22)sin3(gaxF15例8、已知均质圆柱A与滑轮B的质量均为m1，半径相同，圆柱A向下作纯滚动，物体C的质量为m2，斜面不光滑，A、B轮轴处摩擦不计。求圆柱A质心加速度及绳子对C物的拉力。解：（1）分别取圆柱A、滑轮B球和物体C为研究对象（2）受力分析、运动分析2T1T1Tfgm2gm1N2212121)(rmrTT滑轮BamgmT222物体CcamTfgm111sin12121rmfr圆柱Agmmmmac21212singmmmmmmmT)2(2sin)2(3212121211gmmmmmT221112)2sin2(vA,CvC21rraac约束条件：纯滚动、绳子刚性（不可伸长）16例9、质量为M、半径为R的匀质圆柱放在粗糙的斜面上，斜面的倾角为，圆柱外绕有细绳，绳子跨过一轻滑轮，并悬挂一质量为m的物体。设圆柱体作纯滚动，圆柱体和滑轮间的绳子与斜面平行，求被悬挂物体的加速度及绳子中的张力。解：RaaRaMRRfTMaMgfTmaTmgTTT12121221,21)(sinmMgmMTgmMMmaa83)sin43(83)sin2(42)(rrdtdaaAp17例10、半径为r的实心匀质圆柱质量为m1，其中部绕以细绳，再绕过滑轮B与物体A相连，物A的质量为m2，物A与水平面间的摩擦系数为m，试求物体A和圆柱中心C的加速度各为多少？（滑轮与绳子的质量均忽略不计）TTgm1gm2fN解：21112221rmIamTgmgmfamfTcAmraaTrIAc解上述方程得：gmmmmaA212133mgmmmmac21213)2(m18例11、（作业3.2）长为2L的均质棒，一端抵在光滑墙上，而棒身则如图示斜靠在与墙相距为d（d≤Lcos）的光滑棱角上。用虚功原理求出棒在平衡时与水平面所成的角。mgxyo)tansin(dLyc0)seccos(2dLyc0)seccos(2dLmgLd3cos解：0cymg虚功原理方程19例12、如下图所示的机构，已知各杆长为L，弹簧的原长L，弹性系数k，若忽略各处摩擦不计，各杆的重量忽略不计。试用虚功原理求平衡时p的大小与角度之间的关系。TTyxo解：02ADypxTsincosLxLxDDcos2sin2LyLyAA)tansin2(tan)cos2(tankLLLkTp0)cos2sin2(pLTL0cos2sin2pLTL20例13、如下图所示的机构，已知各杆长为L，弹簧的原长也L，弹性系数为k，若忽略各处摩擦不计，各杆的重量也忽略不计。试用虚功原理求平衡时p的大小与角度之间的关系。oTTxy解：根据虚功原理得：02cbypxT)cos1(2Lxbsin2Lxbsin2LLyccos2Lyc0)cos2sin2cos2(pLLkLsin21kLp21例14、用光滑铰链连成一六边形，六根杆同长l同重w，其中一杆用螺钉固定在天花板上，上下杆的中点用一细绳相连接，绳长a（a2l），求绳中张力。解：06BEyTywcos,sinlylyEEcos2,sin2lylyBB0)cos2cos6(TlwlwT3w6TTE22例15、如图的机构中，AB=BC=L，BE=BD=b，弹簧的倔强系数为k，当x=a时，弹簧拉力为零，该系统在力F作用下平衡，杆重不计。求平衡时x=?TTyx解：根据虚功原理列出方程：0EDcxTxTxFcos)(cos)(cos2bLxbLxLxxEDc代入上面的方程可得：FbLTLx2cos)cos2cos2(0bbkT)cos2(aLbbkTLbab0cos222kbFLax)22(aLbLxbkFbL230sinlg例16、试用牛顿方法和拉氏方法证明单摆的运动微分方程其中为摆线与铅直线之间的夹角，l为摆线长度。sinmgml0sinlg解：（1）用牛顿法：（2）用拉氏方法：qcos2122mglmlVTL0sinlg0LLdtd0sin2mglmlmgTl240sinrg例17、试用牛顿方法和拉氏方法证明质点的运动微分方程（2）用拉氏方法：qcos2122mgrmrVTL0sinrgsinmgmr0si