《理论力学》第十章 质心运动定理

HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS质心运动定理动量定理第十章HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS质点运动微分方程：求解单个质点动力学问题、简单质点系动力学问题动力学普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理等在许多实际问题中，并不需要求出质点系中每个质点的运动，而只有知道整个质点系运动的某些特征就够了。因此，本章将建立描述描述整个质点系运动特征的一些物理量（如动量、动量矩、动能等），并建立作用在质点系上的力与这些物理量的变化率之间的关系，这些关系统称为动力学普遍定理HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS质点系在力的作用下，其运动状态不但与各质点的质量有关，而且与质量的分布情况有关。§1质心运动定理质量中心是反映质点系质量分布特征的物理量之一。HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS（一）质量中心（质心或惯性中心）iiiCmrmriiiCiiiCiiiCmzmzmymymxmx问题：系统由几个刚体构成，每个刚体质心位置已知，1.系统质心如何确定？2.质心的速度如何确定？3.质心的加速度如何确定？CiiCrmrmCiiCvmvmCiiCamamHOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS在重力场内，质心与重心重合质心坐标WzWzWyWyWxWxiiCiiCiiC质心是永远存在，而重心只有在重力场中才存在HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS（二）质心运动定理iiiFdtrdm22对每个质点求和iiiFdtrdm22222222rrrdtdmmdtdmdtdCCii左边IiEiIiEiFFFF右边系统外部对i质点的合力系统内部其它所有质点对i质点的合力EiCCFdtrdmam22HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICSEiCCdtrdmamF22－－质心运动定理质点系的质心就像一个质点那样运动，这个质点的质量等于质点系的质量，而且在这个质点上作用着质点系的所有外力。对于刚体系统：EiCiiCamamFHOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS结论：2.无论刚体（系）、质点系做何形式的运动，此定理成立。1.质心“像一个质点一样遵循牛顿第二定理”。－－质心运动定理3.质心的运动仅与质系的外力有关，与内力无关。EiCCdtrdmamF22HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS根据质心运动定理，某些质点系动力学问题可以直接用质点动力学理论来解答。如刚体平移。刚体平移问题完全可以看作为质点问题来求解。质点系的复杂运动总可以看作随同质心的运动与相对于质心的运动（相对于随同质心平移的坐标系的运动）两部分合成的结果。应用质心运动定理求出质心的运动，也就确定了质点系随同质心的平移。HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICSEizCCzEiyCCyEixCCxFdtzdmmaFdtydmmaFdtxdmma222222直角坐标表示法：EibCbEinCCnEiCCFmaFvmmaFdtdvmma02自然表示法：EiCCdtrdmamF22质心运动定理的表示方法HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICSEizCiziCzEiyCiyiCyEixCixiCxFammaFammaFamma直角坐标表示法：0CbEiniCNiCnEiiCiCmaFammaFamma自然表示法：EiCCdtrdmamF22质心运动定理的表示方法(刚体)HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS特殊情形：1、若0EiF则0CaconstvC这表明若作用于质系的所有外力矢量和恒为零，则质心作惯性运动。这表明若作用于质系的所有外力在某固定轴上投影的代数和恒为零，则质心速度在该轴上的投影保持不变。这两个结论称为质心运动守恒定理。2、若0ExiF则0cxaconstvcxEiCCdtrdmamF22外力为零速度为常数HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICSFF问题1：两个相同均质圆盘，初始时刻皆静止于光滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用位置不同（如图示），哪个圆盘跑得更快？问题2：AB、AC为两相同的均质杆，每根质量为m。系统初始时刻静止于光滑的水平桌面，受大小为F的力作用如图示。问A点的加速度等于？FABCHOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问m1下降h时，m4水平移动多少？解：1.建立坐标系m1m2m3m4θoxy记四个物块的质心初始时刻坐标分别为x1、x2、x3、x4。2.质心运动定理0EixCxCxFdtdvmma由constvCx得而初始时刻系统静止0CxvconstxvdtdxCCxC0又∵所有的外力都竖直向下，所以HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICSm1m2m3m4θoxy初始时刻质心坐标：4321443322110mmmmxmxmxmxmxCm1下降h时，假设m4向左水平移动S:4321443322111mmmmSxmScoshxmShxmSxmxC43213201mmmmcoshmhmSxxCC得由解：例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问m1下降h时，m4水平移动多少？记四个物块的质心初始时刻坐标分别为x1、x2、x3、x4。HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICSFy例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速ω转动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。解：1.取坐标系Oxy2.任意时刻质心坐标321322321322FxW1W3W2HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速ω转动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。解：3.质心加速度tcos)(l)WW(dtydtsin)(l)WW(dtxdCC32123222321232222222FyFxW1W3W2HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS32122321223214.质心运动定理例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速ω转动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。FyFxW1W3W2HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICSFy解：tlgWWFxsin22232tlgcos22232321静反力附加动反力例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速ω转动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。FxFyW1W2W3动力学中约束力静约束力动约束力HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS蛙式打夯机振动块HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS解：另外一种解法aC2aC3CixiCxammatsinagWtsinagWCC3322tsinlgWW23222xF同理，求得tcoslg23232122FyFxW1W3W2a3a2HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS解：AOAa600例3:质量m，半径r的均质圆轮在一个力偶作用下，沿水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点A的加速度为aA，方向如图。试求：（1）质心的加速度；（2）圆轮所受摩擦力的大小。1运动分析(轮作平面运动)2、质心加速度以O为基点nAOAOOAaaaaOa2ra,raranAOAOO其中raraAA213232解得23AOaaAOanAOaOaxy投影方程r/arr/aAA2322x轴y轴求加速度必须用基点法HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS2.受力分析COa23AOaagmFNFM3.质心运动定理FmaOAmaF23解：例3:质量m，半径r的均质圆轮在一个力偶作用下，沿水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点A的加速度为aA，方向如图。试求：（1）质心的加速度；（2）圆轮所受摩擦力的大小。HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICSA450BECD练习1：质量50kg，长度2m的均质杆A端搁在光滑水平面上，另一端B与水平杆BD铰接并用铅直绳BE悬挂。已知系统静止于图示位置，在绳突然剪断瞬间，B点的加速度为7.35m/s2，方向铅垂向下。试求此瞬时水平面对AB杆的反力。BD杆质量不计。2A450BECD解：1.受力分析；FNmgFBD2.运动分析；aAaBaBaτABaBatCB以B为基点，分析A点加速度：yBABAyacosaa04502Ba再以B为基点，分析C点加速度：BCBCyacosaa0452BCyaaHOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICSA450BECD2A450BECD解：FNmgFBDaCyy2BCyaa3.质心运动定理；mgFmaNCy得：)(.ammgmamgFBCyNN253062练习1：质量50kg，长度2m的均质杆A端搁在光滑水平面上，另一端B与水平杆BD铰接并用铅直绳BE悬挂。已知系统静止于图示位置，在绳突然剪断瞬间，B点的加速度为7.35m/s2，方向铅垂向下。试求此瞬时水平面对AB杆的反力。BD杆质量不计。HOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS§2质点系动量、冲量1.质点的动量vmp2.质点系动量iivmp质系在某瞬时的动量等于该瞬时质系所有质点动量的矢量和。Cvm也等于质系质量与质心速度的乘积。量纲：ML/T单位：kg·m/s或N·sHOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS§2质点系动量、冲量质点系动量CiivmvmP对于刚体系统，若各刚体质心的速度已知，则整个刚体系统的动量为：CiiCvmvmpCiziCzzCiyiCyyCixiCxxvmmvpvmmvpvmmvpHOHAIUNIVERSITYENGINEERINGMECHANICS例4：均质丁字杆重W，AB＝OD＝2a，已知，求杆在图示瞬时的动量。CvCO