y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

课时目标(1)通过“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象，研究其性质及图象间的关系；(2)掌握A，ω，φ，b对图象形状的影响.知识点1A，ω，φ的物理意义当y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A＞0，ω＞0)表示一个振动量时，A表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间T＝2πω称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数f＝1T＝ω2π，称为振动的频率．ωx＋φ称为相位，x＝0时的相位φ称为初相.知识点2周期变换一般地，函数y＝sinωx，x∈R(ω＞0，ω≠1)的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω＞1时)或伸长(0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变的情况下)而得到的.知识点3振幅变换一般地，函数y＝Asinx，x∈R(A＞0，A≠1)的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变的情况下)而得到，因此，y＝Asinx，x∈R的值域是[－A，A]，最大值为A，最小值为－A.知识点4平移变换(相位变换)一般地，函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，x∈R的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左(φ＞0时)或向右(φ＜0时)平行移动|φ|个单位而得到.知识点5图象变换函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程．讲重点五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象步骤是：第一步：列表：由ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值：x－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωωx＋φ0π2π32π2πy0|A|0－|A|0第二步：在同一坐标系中描出各点；第三步：用光滑曲线连接这些点，而成图象．释疑点解读函数图象的三种变换1.准确理解“图象变换法”(1)由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，其变化途径有两条：①y＝sinx――→相应变换y＝sin(x＋φ)――→周期变换y＝sin(ωx＋φ)――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．②y＝sinx――→周期变换y＝sinωx――→相位变换y＝sin(ωx＋φ)――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．(2)类似地y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象也可由y＝cosx的图象变换得到．(3)上述规律可以推广到一般函数中，即函数y＝f(x＋φ)，y＝f(ωx)，y＝Af(x)的图象分别与函数y＝f(x)的图象之间也有类似的规律．2．函数图象的上、下平移变换一般地，函数y＝sinx＋k(k≠0)的图象，可以看作是y＝sinx的图象上所有点向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位而得到的．类型一“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图【例1】用五点法作出函数y＝2sinx－π3＋3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．思维启迪：五点法作图，要抓住关键五点，令函数式中的ωx＋φ取0，π2，π，32π，2π，然后求出相应的x，y值，作出图象，由图象回答问题．解析：(1)列表如下：xπ356π43π116π73πx－π30π2π32π2πy35313(2)描点．(3)作图，如图所示：将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得y＝2sinx－π3＋3的图象．周期为T＝2π，频率为f＝1T＝12π，相位为x－π3，初相为－π3，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为2kπ＋56π，2kπ＋116π(k∈Z)，增区间为2kπ－π6，2kπ＋56π(k∈Z).点评：(1)先用五点法作出一个周期的图象，要得到整个函数图象，只要将上述简图左右扩展即可．(2)回答周期、频率、相位、初相、最值及单调区间，关键是把握相关概念及理解函数的性质．(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体，由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间.变式训练1已知函数y＝2sin2x－π3，用“五点法”画出其简图．解析：列表：2x－π30π2π3π22πxπ65π122π311π127π6y＝2sin2x－π3020－20描点，连线得函数y＝2sin2x－π3在一个周期内的图象．再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z)个单位长度，就可得函数y＝2sin2x－π3(x∈R)的图象.类型二图象变换问题【例2】用两种方法将函数y＝sinx的图象变换为函数y＝2sin2x＋π3的图象．思维启迪：可先伸缩，后平移；也可先平移，后伸缩．点评：本题考察了由函数y＝sinx(x∈R)的图象变换到函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的两种方法，第一种方法是先进行周期变换，第二种方法是先进行相位变换．表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的即π6和π3，但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的．变式训练2将函数y＝cosx－π3的图象怎样变换得到函数y＝sinx的图象？解析：y＝cosx－π3＝sinx＋π6，故将y＝sinx＋π6的图象向右平移π6个单位长度即可得到y＝sinx的图象.类型三由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例3】若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(其中A＞0，ω＞0，|φ|＞π2)的图象如图所示．(1)试确定A，ω，φ，b的值．(2)求S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)的值．思维启迪：由函数图象确定解析式，在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ：(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定A.(2)ω：因为T＝2πω⇔ω＝2πT，可通过曲线与x轴的交点确定T，也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为T2来求；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T来确定．(3)φ：从寻找“五点法”中的第一个点－φω，0(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.在用以上方法确定φ的取值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．解析：(1)由图象可知A＝32－122＝12，b＝32＋122＝1，ω＝2πT＝2π4＝π2，∴f(x)＝12sinπ2x＋φ＋1.又因为点(0,1)在函数图象上，所以12sinφ＋1＝1，sinφ＝0，又|φ|＜π2，故φ＝0，∴f(x)＝12sinπ2x＋1.(2)由(1)知函数f(x)＝12sinπ2x＋1，周期T＝2ππ2＝4，∴S＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×502＋f(2009)＋f(2010)＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×502＋f(1)＋f(2)，又f(0)＝1，f(1)＝32，f(2)＝1，f(3)＝12，f(4)＝1，∴S＝1＋32＋1＋12＋1×502＋32＋1＝40232.点评：解答本题易把A的值求为32，出错的原因是忽视了振幅A的意义．变式训练3如图所示，它是y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，|φ|π的图象，由图中条件，写出该函数的解析式．解析：由图知，A＝5，周期T＝2×(5π－2π)＝6π，所以2πω＝6π，ω＝13，由13×π2＋φ＝π2得φ＝π3，所以函数的解析式为y＝5sin13x＋π3.类型四函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的应用【例4】已知方程2sin2x＋π3－1＝a，x∈－π6，13π12有两解，求a的取值范围．思维启迪：作出函数y＝2sin2x＋π3的图象，结合直线y＝a＋1与图象的交点个数判定a的取值范围．解析：由题意2sin2x＋π3＝a＋1.令y＝2sin2x＋π3，y＝a＋1，用五点作图法作出函数y＝2sin2x＋π3在－π6，13π12上的图象如图．显然要使y＝a＋1与图象有两个交点，只须－2＜a＋1＜0或a＋1＝2.即－3＜a＜－1或a＝1.点评：本题从数形结合的角度加以研究，避免了代数方法的繁琐，直观而有效，但应该注意图形的准确性．变式训练4若方程2sinx＋π3＋2a－1＝0在[0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________．解析：x∈[0，π]，x＋π3∈π3，4π3，2sinx＋π3∈[－3，2].画出函数图象，可知当3≤1－2a＜2时，原方程有两个不相等的实数根，故－12＜a≤1－32.答案：－12＜a≤1－32