_3.1.1方程的根与函数的零点(第一课时)

§3.1.1方程的根与函数的零点制作：moshengli方程解法史话:数学家方台纳的故事1535年，在意大利有一条轰动一时的新闻：数学家奥罗挑战数学家方台纳，奥罗给方台纳出了30道题，求解x3+5x=10，x3+7x=14，x3+11x=20，……；诸如方程x3+Mx=N，M，N是正整数，比赛时间为20天，方台纳埋头苦干，终于在最后一天解决了这个问题。方程的求解经历了相当漫长的岁月，让我们来感受数学探索的魅力吧！方台纳函数的图象与x轴的交点方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3这里，方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.y=0方程ax2+bx+c=0(a0)的根函数y=ax2+bx+c(a0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2思考1：任意方程f(x)=0的根与相应函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标都有这样相等的关系吗？结论：方程的根即为相应函数图象与x轴交点的横坐标.的实数根是方程00xfx）有交点（轴的图象与函数0,0xxxfy对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数零点的定义：注意：零点指的是一个实数0x是方程的实数根0)(xf0x是函数的零点)(xfy的图象与轴有交点)(xfyx)0,(0x数形对零点的理解：数的角度：形的角度：即是使f(x)=0的实数x的值即是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标求函数零点的方法：(1)方程法：(2)图象法：解方程f(x)=0,得到y=f(x)的零点画出函数y=f(x)的图象,其图象与x轴交点的横坐标是函数y=f(x)的零点例1.函数的零点是()A.（-1,0),(3,0)B.C.D.-1和3你试一试322xxy1x3x练习1：求下列函数的零点.(1)(2)(3)6)(2xxxf22)(xxf23xfxxD甲乙思考2：观察下列甲、乙两组画面，请你判断一下小王从A到B是否一定渡过这条小河？ABAB思考3：将小河抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴有怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？AXXA、B两点在x轴的两侧。ABB湖南长郡卫星远程学校2009年下学期制作05自主探究观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象(如图),我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,1]上有零点,计算f(-2)与f(1)的乘积,你能发现这个乘积有什么特点?在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢?432112O124321xyyABOx()()0fafbab思考4：A、B两点在x轴的两侧，如何用数学符号（式子）来表示？,()bfb（）,()afa（）yABOxAB间的函数图象连续不断,且，则函数图象在（a，b）内与x轴一定有交点吗？即函数在（a，b）内一定有零点吗？()()0fafbab思考5：yABOxabAB间的函数图象连续不断,且，则函数图象在（a，b）内与x轴一定有交点，即函数在（a，b）内一定有零点。()()0fafb函数零点定理：如果函数在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有，那么,函数在区间(a,b)内有零点,即存在∈(a,b),使,这个c也就是方程的根．0)()(bfaf)(xfy)(xfy0)(xf0)(cfc结论如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根。abxy0ab0yxab0yxab0yx（1）f(a)·f(b)0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)·f(b)0。（3）f(a)·f(b)0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。函数零点存在定理的三个注意点：1函数是连续的。2定理不可逆。3至少存在一个零点。定理理解：判断正误2-2-4-6-8-15-10-5x1gx=x2-2x+1ababab000yxxyyx错错错湖南长郡卫星远程学校2009年下学期制作05对函数零点的存在性定理的理解(1)函数零点的存在性定理只能判断函数零点的存在性，不能判断零点的个数.(2)只要函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断，且在区间[a,b]两端的函数值异号,则函数y=f(x)在区间[a,b]上必定存在零点.(3)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且函数y=f(x)在区间[a,b]也存在零点,则函数y=f(x)在区间[a,b]两端的函数值可能同号也可能异号.湖南长郡卫星远程学校2009年下学期制作05利用函数零点的存在性定理求函数零点的步骤(1)确定函数y=f(x)在[a,b]上连续;(2)若f(a)·f(b)0,则在(a,b)内存在零点.(3)存在c∈(a,b),使得f(c)=0,则c是零点.