【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题25 审题技能训练课件

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索高考二轮总复习第一部分微专题强化练二增分指导练第一部分25(文23)审题技能训练考题引路强化训练12易错防范3考题引路考例1(文)(2015·陕西文，17)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a,3b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．[立意与点拨]考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积．解答本题审题一要抓住m∥n，二要从ab得出AB，简化求值过程．[解析](1)因为m∥n，所以asinB－3bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－3sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝3，由于0＜A＜π，所以A＝π3；(2)解法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0因为c＞0，所以c＝3.故△ABC的面积为12bcsinA＝332.解法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sinB，从而sinB＝217.又由a＞b知A＞B，所以cosB＝277，故sinC＝sin(A＋B)＝sin(B＋π3)＝sinBcosπ3＋cosBsinπ3＝32114，所以△ABC的面积为12absinC＝332.(理)(2015·福建理，19)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α，β.(ⅰ)求实数m的取值范围；(ⅱ)证明：cos(α－β)＝2m25－1.[立意与点拨]考查三角函数图象变换和性质及诱导公式，运算求解能力和推理论证能力．解答本题一要注意向右平移与向左平移的区别；二要注意化一角一函讨论图象与性质的技巧；三要注意方程“有两个不同解”的含义，恰当转化．[解析]解法一：(1)将g(x)＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cosx的图象，再将y＝2cosx的图象向右平移π2个单位长度后得到y＝2cos(x－π2)的图象，故f(x)＝2sinx，从而函数f(x)＝2sinx图象的对称轴方程为x＝kπ＋π2(k∈Z)．(2)(ⅰ)f(x)＋g(x)＝2sinx＋cosx＝5(25sinx＋15cosx)＝5sin(x＋φ)(其中sinφ＝15，cosφ＝25)．依题意，sin(x＋φ)＝m5在区间[0,2π)内有两个不同的解α，β当且仅当|m5|＜1，故m的取值范围是(－5，5)．(ⅱ)因为α，β是方程5sin(x＋φ)＝m在区间[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m＜5时，α＋β＝2(π2－φ)，即α－β＝π－2(β＋φ);当－5＜m＜1时，α＋β＝2(3π2－φ)，即α－β＝3π－2(β＋φ);所以cos(α－β)＝－cos2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝2(m5)2－1＝2m25－1.解法二：(1)同解法一．(2)(ⅰ)同解法一．(ⅱ)因为α，β是方程5sin(x＋φ)＝m在区间[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m＜5时，α＋β＝2(π2－φ)，即α＋φ＝π－(β＋φ);当－5＜m＜1时，α＋β＝2(3π2－φ)，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－[1－(m5)2]＋(m5)2＝2m25－1.考例2(文)(2015·安徽文，17)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．[立意与点拨]考查频率分布直方图与古典概型，运算求解能力、数据处理能力和逻辑思维能力；解答本题一要抓住频率分布直方图的性质；二要明确可用频率估计概率；三要会用列举法计数基本事件．[解析](1)由频率分布直方图可知：(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006.(2)由频率分布直方图可知，评分不低于80分的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以评分不低于80分的概率的估计值为0.4.(3)由频率分布直方图可知：在[40,50)内的人数为0.004×10×50＝2(人)，在[50,60)内的人数为0.006×10×50＝3(人)，设[40,50)内的两人分别为a1，a2；[50,60)内的三人为A1，A2，A3，则从[40,60)的受访职工中随机抽取2人，基本事件有(a1，a2)，(a1，A1)，(a1，A2)，(a1，A3)，(a2，A1)，(a2，A2)，(a2，A3)，(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)共10种；其中2人评分都在[40,50)内的结果只有1种，即(a1，a2)，故所求概率为110.(理)(2015·山东理，19)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．[立意与点拨]考查离散型随机变量的分布列及期望，阅读理解能力、数据处理能力和推理论证能力．解答本题一要抓住“三位递增数”的含义；二要注意“将三位数字之积”被5(或10)整除合理转化．[解析](1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此P(X＝0)＝C38C39＝23，P(X＝－1)＝C24C39＝114，P(X＝1)＝1－114－23＝1142.所以X的分布列为X0－11P231141142则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.易错防范案例1(文)设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＋1＝Sn＋4(n∈N*)，a1＝2.(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)设bn＝a2n，{bn}的前n项和为Tn，试比较S2nTn与3的大小；(3)证明：不存在正整数n和大于4的正整数m，使得等式am＋1＝Sn＋1－mSn－m成立．[易错分析]一是不会借助an＝Sn－Sn－1，利用配凑法转化条件式，导致整个题目无法进行求解；二是求解第(2)问时，不会利用换元简化计算，导致运算失误；三是证明否定性命题时无法找到矛盾．[解答](1)证明：∵2Sn＋1＝Sn＋4，∴2Sn＝Sn－1＋4(n≥2)，两式作差得2an＋1＝an，即an＋1an＝12(n≥2)，又∵a2＝1，∴a2a1＝12，∴{an}是以2为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知an＝(12)n－2，∴Sn＝4[1－(12)n]，bn＝(14)n－2，Tn＝163[1－(14)n]0，令p＝(12)n0，S2nTn＝161－p21631－p2＝3×1－p1＋p＝3(－1＋21＋p)，∵n→＋∞时，p→0，S2nTn→3，∴S2nTn3.(3)证明：假设存在正整数n和大于4的正整数m，使等式am＋1＝Sn＋1－mSn－m成立，则有am＝Sn＋1－m－Sn＋mSn－m，∴Sn－m＝an＋1am，即4[1－(12)n]－m＝(12)n＋1－m，化简得(4－m)2n＝4＋2m－1，若存在正整数n和大于4的正整数m，则等式左边为负数，右边是正数，矛盾．∴不存在正整数n和大于4的正整数m，使得等式am＋1＝Sn＋1－mSn－m成立．[警示]一熟记基础知识；二是注重基本方法的掌握与训练；三是注意掌握证明否定性命题的一般方法，特别是寻找矛盾的一般规律．(理)(2015·北京东城练习)对于数列{an}(n＝1,2，…，m)，令bk为a1，a2，…，ak中的最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”．例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7.定义数列{cn}：c1，c2，c3，…，cm是自然数1,2,3，…，m(m3)的一个排列．(1)当m＝5时，写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{cn}；(2)是否存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{cn}；若不存在，请说明理由．[易错分析]一是对于新定义“创新数列”不能正确理解，而致解题无从下手．二是对于存在性命题的一般讨论方法掌握不熟练．致使解题过程不严谨；三是分类讨论时考虑不全致误．[解答](1)由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列{cn}共有两个，即数列3,4,1,5,2；数列3,4,2,5,1.(2)存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列．设数列{cn}的创新数列为{en}(n＝1,2,3，…，m)，因为em是c1，c2，…，cn中的最大值，所以em＝m.由题意知，ek为c1，c2，…，ck中的最大值，ek＋1为c1，c2，…，ck，ck＋1中的最大值，所以ek≤ek＋1，且ek∈{1,2，…，m}．若{en}为等差数列，设其公差为d，则d＝ek＋1－ek≥0且d∈N，当d＝0时，{en}为常数列，又em＝m，所以数列{en}为m，m，…，m，此时数列{cn}是首项为m的任意一个符合条件的数列；当d＝1时，因为em＝m，所以数列{en}为1,2,3，…，m，此时数列{cn}为1,2,3，…，m；当d≥2时，因为em＝e1＋(m－1)d≥e1＋(m－1)×2＝2m－2＋e1，又m3，e10，所以emm，这与em＝m矛盾，所以此时{en}不存在，即不存在{cn}使得它的创新数列为公差d≥2的等差数列．综上，当数列{cn}为以m为首项的任意一个符合条件的数列或{cn}为数列1,2,3，…，m时，它的创新数列为等差数列．[警示]1.注重对常见题型解题的规范性训练；2.加强阅读理解能力的训练；3.注重思维的严谨性训练．