2012届高三数学 数列的概念与简单表示法复习课件

§5.1数列的概念与简单表示法§5.1数列的概念与简单表示法考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考1．数列的概念按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的___．数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为数列{an}，其中数列的第1项a1也称____；an是数列的第n项，也叫数列的____．双基研习•面对高考基础梳理项首项通项2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数____无穷数列项数____按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1__an其中n∈N＋递减数列an＋1__an常数数列an＋1＝an有限无限3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为_________________的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列______就是这个数列．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成_______，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．N＋或它的有限子集函数值an＝f(n)思考感悟提示：不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为an＝(－1)n或an＝－1，n为奇数1，n为偶数，有的数列没有通项公式．数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？1．(教材习题质检)已知数列{an}的通项公式为an＝29－9n，则在下列各数中，不是{an}的项的是()A．20B．11C．－2D．－7答案：C课前热身2．(2011年阜阳质检)数列{an}：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是()A．an＝(－1)n＋12n－1n2＋n(n∈N＋)B．an＝(－1)n－12n＋1n3＋3n(n∈N＋)C．an＝(－1)n＋12n－1n2＋2n(n∈N＋)D．an＝(－1)n－12n＋1n2＋2n(n∈N＋)答案：D3．(2011年宿州质检)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于()A．7B．8C．9D．17答案：A4．数列{an}的通项公式an＝1n＋n＋1，则a2011＝________，10－3是此数列的第____项．答案：2012－201195．已知数列{an}满足a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N＋，则a2011＝______；a2018＝______.答案：01考点探究•挑战高考考点突破数列的通项公式根据数列的前若干项写出数列的一个通项公式．解决这一题型的关键是通过观察、分析、比较去发现项与项之间的关系，如果关系不明显，应该将项作适当变形或分解，让规律突现出来，便于找到通项公式；同时还要借助一些基本数列的通项及其特点．例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，…；(2)1,3,6,10,15，…；(3)12，14，－58，1316，…；(4)7,77,777，….【思路点拨】由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前、后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一．【解】(1)注意前四项中有两项的分子均为4，不妨把分子都统一为4，即：45，48，411，414，….因而有an＝43n＋2.(2)注意到6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项同乘以2再除以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有an＝n(n＋1)2.(3)其分母的规律是明显的，关键在于观察分子，分子后三项绝对值递增，且比分母小3.又注意到第三项为负，而第一项的分子也可以写成－(－1)，∴an＝(－1)n2n－32n.(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，….∴an＝79(10n－1)．【失误点评】在解决有关通项公式的问题时易在以下环节出错：(1)项数搞错；(2)由归纳法求通项时，只满足前几项，而不能满足所有的情况．变式训练1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)23，415，635，863，1099，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5,55,555,5555，…；(5)5,0，－5,0,5,0，－5,0，…；(6)1,3,7,15,31，….解：(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示．其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N＋)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻的奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式为an＝2n(2n－1)(2n＋1)(n∈N＋)．(3)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，可得通项公式an＝n22(n∈N＋)．(5)数列的各项具有周期性，联想基本数列1,0，－1,0，…，则an＝5sinnπ2(n∈N＋)．(6)考虑数列{an＋1－an}．a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝8，…an－an－1＝2n－1(n≥2)．将这n－1个式子累加，得an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1＝2n－2，∴an＝a1＋2n－2＝1＋2n－2＝2n－1(n≥2)．当n＝1时，此式仍成立，故所求通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)．由递推关系求通项公式递推公式是给出数列的一种方法，根据递推公式，写出数列的前几项，可以根据前几项的构成，找出数列的基本规律，归纳出数列的通项公式；或将递推公式变形，推导出数列的通项公式．例2根据下列条件，求数列的通项公式an.(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)在数列{an}中，an＋1＝n＋2nan，a1＝4；(3)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1；(4)在数列{an}中，an＋1＝3a2n，a1＝3.【思路点拨】(1)由an＋1＝an＋2n得an＋1－an＝2n，可采用累加求和的方法；(2)由an＋1＝n＋2nan得an＋1an＝n＋2n，可采用累乘的方法；(3)可构造等比数列求解；(4)由条件可知an0，可采用两边取对数的方法求解．【解】(1)由an＋1－an＝2n，把n＝1,2,3，…，n－1(n≥2)代入，得(n－1)个式子，累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－a1＝2(1－2n－1)1－2，即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1.当n＝1时，a1＝1也符合，所以an＝2n－1(n∈N＋)．(2)由递推关系an＋1＝n＋2nan，a1＝4，有an＋1an＝n＋2n，于是有a2a1＝3，a3a2＝42，a4a3＝53，…，an－1an－2＝nn－2，anan－1＝n＋1n－1，将这(n－1)个式子累乘，得ana1＝n(n＋1)2.所以当n≥2时，an＝n(n＋1)2a1＝2n(n＋1)．当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N＋)．(3)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N＋)．(4)由已知，an0，在递推关系式两边取对数，有lgan＋1＝2lgan＋lg3.令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn＋lg3.所以bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，所以{bn＋lg3}是等比数列．所以bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3.所以bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan.所以an＝32n－1.【规律小结】(1)数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中{f(n)}的前有限项可求和．此种类型的数列求通项公式时，常常是相邻两项作差，然后对差式求和，这是求通项公式的一种重要方法．(2)数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中{g(n)}的前n项的乘积容易化简．此数列求通项公式一般采用累乘法．(3)数列递推关系形如an＋1＝c·an＋d(c、d为常数)求通项公式常用构造新数列法．(4)数列的递推关系形如an＋1＝parn(p、r为常数，且p0，an0)，求an时一般采用递推关系式两边取对数的方法．由Sn求an由Sn求an时，要分n＝1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为an＝S1(n＝1)Sn－Sn－1(n≥2).例3已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2；(3)Sn＝3an－2.【思路点拨】利用关系式an＝S1Sn－Sn－1n＝1n≥2求解．【解】(1)a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.由于a1也适合此式，因此an＝4n－5(n∈N＋)．(2)a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.∴an＝12·3n－1n＝1，n≥2.(3)∵an＝Sn－Sn－1＝(3an－2)－(3an－1－2)，∴an＝32an－1(n≥2)．又a1＝S1＝3a1－2，∴a1＝1.∴{an}是以1为首项，32为公比的等比数列．∴an＝1·(32)n－1＝(32)n－1.【失误点评】在解答过程中易忽视n＝1时，a1＝S1，而直接利用an＝Sn－Sn－1求an的情况，导致此种错误的原因是没有熟练掌握数列{an}的前n项和Sn与通项an之间的关系或粗心大意．1．数列的单调性：若an＋1an，则{an}为递增数列，若an＋1an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列．2．周期性：若an＋k＝an对n∈N＋(k为常数)成立，则{an}为周期数列．对于一些数列，若通项无法求出时，可考虑其周期性．3．有界性：若{an}满足：|an|≥M或|an|≤M，则称{an}为有界数列，并能求出数列中的最大项或最小项．数列的函数特性例4已知数列{an}的通项an＝(n＋1)(1011)n(n∈N＋)，试问该数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由．【思路点拨】本题可用作差法或作商法比较an与an＋1的大小，也可用an≥an＋1an≥an－1列出不等式组，求n值即可．【解】法一：令n＋11011n≥n1011n－1n＋11011n≥n＋21011n＋1⇔10n＋10≥11n11n＋11≥10n＋20⇔n≤10n≥9∴n＝9或n＝10时，an最大，即数列{an}有最大项，此时n＝9或n＝10.法二：∵an＋1－an＝(n＋2)·(1011)n＋1－(n＋1)(1011)n＝(1011)n·9－n11，当n9时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n9时，an＋1－an0，即an＋1an.故a1a2a3…a9＝a10a11a12….∴数列{an}中有最大项，为第9、10项．【名师点评】(1)数列是一类特殊的函数，解题时注意函数与方程思想的应用，以及转化思想也是解题的常用方法．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图像等方法．(3)若求最大项an，则an满足an≥an＋1an≥an－1；若求最小项an，则an满足an≤an－1an≤an＋1.变式训练2若数列{an}的通项公式an＝5·(25)2n－2－4·(25)n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，求x＋y的值．解：由于an