【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.4点到直线的距离课件 新人教B版必修2

2.2.4点到直线的距离1.理解点到直线的距离，并会求点到直线的距离，掌握其公式．2．理解两条平行线间的距离，并会求两平行线间的距离，掌握其公式．学习目标课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案2.2.4课前自主学案温故夯基点与直线的位置关系有两种，(1)点在直线上，此时点到直线的距离为零．(2)点在直线外，此时可由这一点向直线引垂线．这一点与垂足之间线段的长度即为这点到直线的距离．知新益能1．点到直线的距离公式点P(x1，y1)到直线Ax＋By＋C＝0的距离_________________.d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2(1)点P(x1，y1)到x轴的距离为d＝_____；(2)点P(x1，y1)到y轴的距离为d＝______；(3)点P(x1，y1)到与x轴平行的直线y＝a(a≠0)的距离为d＝_________；(4)点P(x1，y1)到与y轴平行的直线x＝b(b≠0)的距离为d＝__________.|y1||x1||y1－a||x1－b|思考感悟点P(x1，y1)在直线Ax＋By＋C＝0时，还适合点到直线的距离公式吗？提示：适合．点P在直线Ax＋By＋C＝0上，则距离d＝0，且有Ax1＋By1＋C＝0，∴d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2＝0.2．两平行线间的距离设直线l1为Ax＋By＋C1＝0，直线l2为Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)，则两线间的距离d＝____________.|C1－C2|A2＋B2课堂互动讲练求点到直线的距离考点突破利用公式d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2求点(x1，y1)到直线Ax＋By＋C＝0的距离：例1直线l经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)和B(－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．【分析】在已知一点求直线方程时，应首先考虑斜率不存在时直线是否满足题意，然后再设出斜率，利用点到直线的距离公式求之．【解】∵直线l过点P(2，－5)，当斜率不存在时，直线为x＝2，这时d1＝1，d2＝3，d1∶d2≠1∶2，∴所求直线的斜率是存在的．∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，即kx－y－2k－5＝0，∴A(3，－2)到直线l的距离d1＝|k·3－－2－2k－5|k2＋1＝|k－3|k2＋1，B(－1,6)到直线l的距离d2＝|k－1－6－2k－5|k2＋1＝|3k＋11|k2＋1，∵d1∶d2＝1∶2，∴|k－3||3k＋11|＝12，∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17，∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.【点评】利用公式求点到直线的距离时，要注意：①直线方程要化为一般式；②对于特殊直线如垂直于两坐标轴的直线可以通过点的坐标表示，或通过数形结合求解．跟踪训练1点P(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围为()A．[0,10]B．(0,10)C.313，13D．(－∞，0)∪[10，＋∞)解析：选A.∵直线方程为4x－3y－1＝0，∴P到直线的距离为d＝|4×4－3×a－1|42＋－32＝|15－3a|5，∴|15－3a|5≤3，|15－3a|≤15，－15≤3a－15≤15，∴0≤a≤10，即a的取值范围为[0,10]．求平行线间的距离用公式d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2或d＝|C1－C2|A2＋B2求解．例2求与直线2x－y－1＝0平行，且与此直线距离为2的直线方程．【分析】可根据平行直线设出所求直线方程，利用距离确定参数．【解】法一：由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0，则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝|C－－1|22＋－12＝|C＋1|5＝2，∴|C＋1|＝25，C＝±25－1，∴所求直线的方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.法二：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P到2x－y－1＝0的距离为d＝|2x－y－1|22＋－12＝|2x－y－1|5＝2，∴2x－y－1＝±25，∴所求直线的方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.【点评】求两平行直线间的距离有两种思路：(1)直接利用两平行线间的距离公式，但必须注意两直线方程中的x、y的系数对应相等；(2)将两平行线间的距离转化或化归为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离来求解．本题在求解过程中，要注意公式中含有绝对值，解方程时不要漏解．跟踪训练2求两平行线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15的距离．解：法一：直线l1、l2的方程可化为3x＋4y－10＝0,3x＋4y－15＝0，则两平行线间的距离为d＝|－10－－15|32＋42＝55＝1.法二：若在直线l1上任取一点A(2,1),则点A到直线l2的距离即是所求的平行线间的距离，如图所示，l2的方程可化为：3x＋4y－15＝0，∴d＝|3×2＋4×1－15|32＋42＝1.距离公式的综合运用利用距离公式，解决各类问题．例3已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2.【分析】法一：设点P坐标→根据条件列方程组→解出a，b→求得点P坐标法二：设点P坐标→求线段AB垂直平分线的方程→据条件列方程组→求得点P坐标【解】法一：设点P的坐标为P(a，b)，由|PA|＝|PB|得，(4－a)2＋(－3－b)2＝(2－a)2＋(－1－b)2，化简得a－b＝5，①由点P到直线l的距离等于2，得|4a＋3b－2|42＋32＝2，②由①②方程联立，解得a＝1b＝－4，或a＝277b＝－87.所以，所求的点为P(1，－4)或P(277，－87)．法二：设点P的坐标为P(a，b)，因为A(4，－3)，B(2，－1)，所以线段AB中点M的坐标为(3，－2)．而直线AB的斜率kAB＝－3－－14－2＝－1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－(－2)＝x－3，即x－y－5＝0.而点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，故a－b－5＝0.①由已知点P到l的距离为2，得|4a＋3b－2|42＋32＝2.②由①②方程联立，解得a＝1b＝－4，或a＝277b＝－87.所以，所求的点为P(1，－4)或P(277，－87)．【点评】解析几何的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置．对于求点的问题，首先需设出点的坐标，根据题目中的条件，用点的坐标表示出来，列出方程组进行求解，即可得出所需结论．对于所求点到两定点的距离相等的问题，根据直线的性质可知，点一定在连接两点的线段的垂直平分线上，然后再根据题目给出的条件即可求出点的坐标．跟踪训练3如图，在△ABC中，顶点A、B和内心I的坐标分别为A(9,1)、B(3,4)、I(4,1)，求顶点C的坐标．解：法一：AB边所在直线方程为y－14－1＝x－93－9，即x＋2y－11＝0.由于内心I到直线AB的距离等于内切圆半径r，则r＝|4＋2×1－11|5＝5.设AC边所在直线的方程为y－1＝k(x－9)，即kx－y＋1－9k＝0.又I到直线AC的距离也是5，∴|4k－1＋1－9k|k2＋1＝5，解得k＝±12.∵kAB＝－12，∴k＝12.故AC所在直线的方程为y－1＝12(x－9)，即x－2y－7＝0.同理，可求BC边所在直线方程为2x－y－2＝0.解方程组2x－y－2＝0，x－2y－7＝0，得x＝－1，y＝－4.故C点坐标为(－1，－4)．法二：∵点A和点I的纵坐标相等，∴IA与x轴平行，∴∠BAI＝∠CAI，即BA与CA关于IA对称．∵kAB＝4－13－9＝－12，∴kAC＝12.故AC边所在直线方程为y－1＝12(x－9)，即x－2y－7＝0.设BC边所在直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.由于I到直线BC的距离为5，故|4k－1＋4－3k|k2＋1＝5.解得k＝2或k＝－12.又kAB＝－12，∴k＝2.故BC边所在直线方程为2x－y－2＝0.解方程组2x－y－2＝0，x－2y－7＝0，得x＝－1，y＝－4.故C点坐标为(－1，－4)．方法感悟1．点到直线距离公式的推导用到了解析几何中的常用方法“设而不求”，希望在今后学习中注意这种方法在解题中的应用．公式只与直线方程中的系数有关，因而它适合任意直线，在具体应用过程中，应将直线方程化为一般式，再套用公式．2．两平行线间的距离求法有两种：一是转化为点到直线的距离；二是直接使用两平行线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2，但应注意两直线方程中x、y系数分别对应相等(即A1＝A2，B1＝B2)；若不相等，应化为相等，再使用．3．某些距离最值问题常使用数形结合法转化为点到直线的距离问题．