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用心爱心专心1(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从四双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是()A．至多有两只不成对B．恰有两只不成对C．4只全部不成对D．至少有两只不成对解析：选D.从四双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”，“4只全部成对”，“4只都不成对”，∴事件{4只全部成对}的对立事件是{恰有2只成对}＋{4只都不成对}＝{至少有两只不成对}，故选D.2．下列说法正确的是()A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定答案：C3．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率是()A.18B.14C.38D.116答案：C4．小红随意地从她的钱包中取出两枚硬币观察其面值．已知她的钱包中有2枚“壹分”，2枚“贰分”，3枚“伍分”的硬币，这一试验的基本事件个数n等于()A．6B．7C．8D．9解析：选A.由题意，小红从她的钱包里取出两枚硬币可以组成的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,5)，(2,2)，(2,5)，(5,5)共6个，故选A.5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是()A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多有一件一等品解析：选D.从5件产品中任取2件，共有可能的结果为10种，2件都是二等品的可能结果只有1种，2件都是一等品的可能结果有3×2÷2＝3(种)，1件一等品1件二等品的可能结果有3×2＝6(种)．6．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是()A.15B.25C.35D.45解析：选B.可以构成的两位数的总数为5×4＝20(种)，因为是“任取”两个数，所以每个数被取到的概率相同，可以采用古典概型公式求解，其中大于40的两位数有以4开头的：41、42、43、45共4种；以5开头的：51、52、53、54共4种．所以P＝820＝25.7．在箱子里装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x＋y是10的倍数的概率为()用心爱心专心2A.12B.14C.15D.110解析：选D.先后两次取卡时，形成的有序数对有(1,1)，(1,2)，…，(1,10)，…，(10,10)，共计100个．因为x＋y是10的倍数，这些数对应该是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)共10对数，故x＋y是10的倍数的概率P＝10100＝110.8．有4条线段，长度分别为1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是()A.14B.13C.12D.25解析：选A.从四条线段中任取三条，基本事件有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)共4个，能构成三角形的只有(3,5,7)这一个基本事件，故由概率公式得P(A)＝14.9．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝25外的概率是()A.536B.712C.512D.13解析：选B.本题中涉及两个变量的平方和，类似于两变量的和或积的情况，可以用列表法(如右图)，使x2＋y2＞25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果．即2136＝712.6374045526172526293441506141720253241523101318253445258132029401151017263712345610.在所有的两位数中，任取一个数，则这个数被能2或3整除的概率是()A.56B.45C.23D.12解析：选C.10～99中有90个两位数，这些两位数中，偶数有45个，能被3整除的奇数有30÷2＝15个，因此所求的概率为P＝45＋1590＝23，故选C.11．如图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为12的正方形ABCD，向半圆内任投一点，则该点落在正方形内的概率为()用心爱心专心3A.12B.1πC.12πD.1π2答案：C12．如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连结AA′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为()A.12B.23C.32D.14解析：选B.这是一个几何概型的题目，要使弦长大于半径，只要A′选在如图的位置．AA′1＝AA′2＝R，则OA＝OA′1＝AA′1＝R，∴∠A′1OA＝60°，同理∠AOA′2＝60°，∴360°－∠A′1OA′2＝240°，240°圆心角所对的弧长为23圆周，故选B.二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)13．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人．从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．解析：本题为古典概型概率题目，设参加联欢会的男教师为x名，女教师为12＋x名，因为男教师被挑选出一人的概率为x12＋2x.所以x12＋2x＝920，则x＝54，即参加联欢会的教师共有120人．答案：12014．从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中的每个个体被抽到的概率为________．答案：0.0515．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________．解析：从5根竹竿中一次随机抽取2根的情况是：(2.5,2.6)，(2.5,2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)，即基本事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：(2.5,2.8)，(2.6,2.9)，故从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率210＝0.2.故填0.2.答案：0.216．如果下了课以后教室里还剩下3位女同学，2位男同学，一会儿又走了一位女同学，如用心爱心专心4果没有两位同学一块儿走，则第二位是男同学走的概率为________．解析：已知走了一位女同学，还剩下两位女同学和两位男同学，所有走的可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)一共6种，第二位是男同学走的可能只有(男，男，女，女)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，所以P＝36＝12.答案：12三、解答题(本大题共6小题，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤)17．在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京．从这7名同学中任选2名同学，选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是多少？解：给每个同学标上号码：去过北京的3名同学分别记作1,2,3，未去过北京的4名同学分别记作4,5,6,7，采用每次抽1人，分两次抽取的方式进行，并按抽取顺序(x，y)记录结果．由于是随机抽取，x有7种可能，y有6种可能，但(x，y)与(y，x)是相同的，所以抽取的所有结果有21种，同样2人都去过北京的有3×2÷2＝3种，由古典概型计算公式得P＝321＝17.18．甲盒中有红、黑、白皮笔记本各3本，乙盒中有黄、黑、白皮笔记本各2本．从两盒中各取一本．(1)求取出的两本是不同颜色的概率；(2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出的两本是不同颜色的概率．解：(1)从甲盒中取出1本共有9种取法，从乙盒中取出1本共有6种取法，所以共有9×6＝54种取法．设事件A为“取出的两本是相同颜色的笔记本”，事件B为“取出的两本是不同颜色的笔记本”，则事件A的概率为P(A)＝6＋654＝29，由事件A与事件B是对立事件，得事件B的概率为P(B)＝1－P(A)＝79.(2)第一步：利用抽签法或计算机(计算器)产生随机数的方法产生取值为1,2,3中的随机数．用“1”表示取到红色笔记本，“2”表示取到黑色笔记本，“3”表示取到白色笔记本．第二步：利用抽签法或计算机(计算器)产生随机数的方法产生取值为2,3,4中的随机数．用“4”表示取到黄色笔记本，“2”表示取到黑色笔记本，“3”表示取到白色笔记本．第三步：重复上面的两步100次．统计前两步取到不同数的试验次数n，则n100就是取出的两本是不同颜色频率的近似值．19．假如某人有5把钥匙，但忘了开门的是哪一把，只好逐把试开，现在我们来研究一下：(1)此人恰好在第三次打开房门的概率是多大？(2)此人在三次内打开房门的概率是多少？解：(1)记“恰好在第三次打开房门”为事件A,5把钥匙的排放是随机的，因此无论哪一次打开房门的概率均相等，故P(A)＝15.(2)记“三次内打开房门”为事件B，它可以分解成三个子事件B1、B2、B3，其中B1是第一次就把房门打开，其概率P(B1)＝15；事件B2是第二次把房门打开，其概率P(B2)＝15；事件B3是第三次把房门打开，其概率P(B3)＝15.因为事件B1、B2、B3互斥，由互斥事件的概率加法公式P(B)＝P(B1∪B2∪B3)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＝15＋15＋15＝35.20．两个对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25千米，在下午3∶00时莉莉正在基地正东距基地30千米以内的某处向基地行驶，而霍伊用心爱心专心5在下午3∶00时正在基地正北距基地40千米以内的某地向基地行驶，试求下午3∶00时他们能够通过对讲机交谈的概率有多少？解：设x，y分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x≤30,0≤y≤40.则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x，y)，这里x，y都在他们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件所对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25千米时发生(如图)，因此构成事件的点由满足不等式x2＋y2≤25的数对组成，此不等式等价于x2＋y2≤625.图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方千米，而所求事件的面积为(14)π(25)2＝625π4，于是有P＝625π/41200＝625π4800＝0.41.21．街道旁边做一游戏，在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱可玩一次；若压在塑料板的顶点上，可获得1元钱，试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解：(1)如图(1)，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1时，而它接触到的边对于一个正方形来说是一边或两边．所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm2)，因此，所求概率是3292＝3281.(2)小圆板与正方形的顶点相交接，则圆心O与正方形的顶点的距离不超过圆板的半径1时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π·12(cm2)，故所求概率是π81.22．(2010年高考山东卷)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm＋2的概率．用