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第五节向心加速度课标定位学习目标：1.理解向心加速度的产生及向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，知道其方向总是指向圆心且时刻改变．2．知道决定向心加速度的有关因素，并能利用向心加速度公式进行有关计算．重点难点：1.对向心加速度概念的理解．2．向心加速度与半径的关系．核心要点突破课堂互动讲练知能优化训练第五节课前自主学案一、速度变化量Δv1．Δv的求法从同一点O作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2，从初速度矢量v1的末端至末速度矢量v2的末端作一个矢量Δv，矢量Δv就等于速度的变化量．v1、v2及Δv的关系，如图5－5－1所示．图5－5－12．在直线运动中，Δv与v的方向可以相同，也可以相反；在曲线运动中，v1、v2和Δv不在同一直线上，但Δv同样能用上述方法求得．注意：任何一个矢量的变化量的求法都与Δv的求法类似．二、向心加速度1．定义：任何做匀速圆周运动的物体，加速度都指向_____，这个加速度被称为向心加速度．2．公式：an＝_____或an＝____.ω2rv2r圆心思考感悟匀速圆周运动的向心加速度是否变化？提示：向心加速度的方向时刻改变．核心要点突破一、向心加速度的推导如图5－5－2所示，物体从A点经时间Δt沿圆周匀速率运动到B点，转过的角度为Δθ，物体在B点的速度vB可以看成是它在A点的速度vA(vA＝vB＝v)和速度的变化量Δv的合速度，如图所示．图5－5－2当Δt趋近于0时，Δθ也趋近于0，B点接近A点，Δv与vA垂直，指向圆心．所以向心加速度方向沿半径指向圆心．因为vA、vB和Δv组成的三角形与△OAB是相似三角形，所以ΔvAB＝vAr即Δv＝AB·vAr将上式两边同时除以Δt，得ΔvΔt＝ABΔt×vr等式左边Δv/Δt即为向心加速度an的大小，当Δt趋近于0时，AB/Δt等于匀速圆周运动的线速度v，代入上式整理得an＝v2r.将v＝ωr代入上式可得an＝ω2r.特别提醒：(1)根据加速度的定义a＝ΔvΔt及牛顿第二定律F＝ma可知，Δv、a、F三个量的方向始终相同．(2)匀速圆周运动中，虽然速度的大小不变，但速度变化量并不为零，即加速度不为零．二、对向心加速度的进一步理解1．物理意义：描述速度方向改变的快慢．2．方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，即向心加速度方向始终与运动方向垂直．由于向心加速度始终与速度垂直。故1·向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，故2·向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢．3．公式an＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r＝ωv对于an＝v2r＝ω2r＝ωv，也适用于非匀速圆周运动．4．an与r的关系图象，如图5－5－3(a)(b)所示．由an－r图象可以看出：an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定．图5－5－35．向心加速度与合加速度的关系(1)物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体运动的合加速度．(2)物体做非匀速圆周运动时，合加速度既有沿切线方向的分量，又有指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足：an＝v2r＝ω2r.特别提醒：(1)由于向心加速度的方向时刻在变，所以匀速圆周运动是一种变加速运动；(2)向心加速度公式中，ω、v、a必须对应同一时刻；(3)在非匀速圆周运动中，加速度的两个分量：切向加速度改变速度大小，向心加速度改变速度方向．即时应用(即时突破，小试牛刀)关于向心加速度的说法正确的是()A．向心加速度越大，物体速率变化越快B．向心加速度的大小与轨道半径成反比C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量解析：选C.向心加速度是描述速度变化快慢的物理量，但它总与速度方向垂直，不改变速度的大小，只反映速度方向的变化快慢，A错误；向心加速度的大小an＝v2r或an＝ω2r，当v一定时，an与r成反比；当ω一定时，an与r成正比，可见an与r的比例关系是有条件的，故B错误；向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，即始终指向圆心，因此它的方向在不断地变化，所以向心加速度不是恒量，故匀速圆周运动也不能说是匀变速运动，应是变加速运动，故C正确，D错误．课堂互动讲练(2011年陕西师大附中高一考试)如图5－5－4是甲、乙两球做匀速圆周运动时，向心加速度随半径变化的图象，其中图线甲为一双曲线．由图象可以知道()对向心加速度公式的理解和应用例1图5－5－4A．甲球运动时，线速度大小保持不变B．甲球运动时，角速度大小保持不变C．乙球运动时，线速度大小保持不变D．乙球运动时，角速度大小保持不变【思路点拨】根据图象提供的曲线的性质建立起质点做匀速圆周运动的向心加速度a随半径r变化的函数关系，再根据这个函数关系，结合向心加速度的计算公式作出判断．【答案】AD【精讲精析】图线甲表明物体的向心加速度与半径成反比，由a＝v2r可知，物体运动的线速度不变，选项A正确；图线乙表明物体的向心加速度与半径成正比，由a＝ω2r可知，物体的角速度大小不变，选项D正确．【方法总结】(1)应用an＝ω2r＝v2r进行定性讨论两个量之间的关系时，一定要保持第三个量不变，否则不能确定这两个量之间的关系；(2)利用该式进行计算时一定要明确r的含义，即物体做圆周运动的轨道半径．变式训练1(2011年厦门高一检测)关于质点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A．线速度大，加速度一定大B．角速度大，加速度一定大C．周期大，加速度一定大D．加速度大，速度一定变化快解析：选D.由a＝v2r＝ω2r＝4π2rT2可知，当r一定时，a与线速度v的平方成正比，与角速度ω的平方成正比，与周期T的平方成反比，A、B、C错误；加速度是描述速度变化快慢的，加速度越大，速度变化越快，D正确．如图5－5－5所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是3个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)()图5－5－5传动装置中向心加速度的计算例2A．1∶2∶3B．2∶4∶3C．8∶4∶3D．3∶6∶2【精讲精析】因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率，根据向心加速度公式：【答案】Can＝v2r可得：aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1由于B、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同，根据向心加速度的公式：an＝ω2r可得：aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5由此可得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3.【方法总结】解决传动问题，首先弄清哪些物理量相等，挖掘隐含条件是解题关键．在讨论中，若两点线速度大小相等，用ω＝vr讨论ω与r的关系较为方便；若两点角速度相等，用v＝ωr讨论v与r的关系较为方便．变式训练2(2011年武汉调研)在图5－5－6中，A、B为咬合传动的两齿轮，rA＝2rB，则A、B两轮边缘上两点的()A．角速度之比为2∶1B．向心加速度之比为1∶2C．周期之比为1∶2D．转速之比为2∶1图5－5－6解析：选B.根据两轮边缘线速度相等，由v＝ωr得，角速度之比为ωA∶ωB＝vArB∶(vBrA)＝1∶2，故A错；由an＝v2r得向心加速度之比为aA∶aB＝v2ArB∶(v2BrA)＝1∶2，故B对；由T＝2πrv得周期之比为TA∶TB＝rAvB∶(rBvA)＝2∶1，故C错；由n＝ω2π＝v2πr得转速之比为nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，故D错．如图5－5－7所示，定滑轮的半径r＝2cm.绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2m/s2向下做匀加速运动．在重物由静止下落1m的瞬间，滑轮边缘上P点的角速度ω＝__________rad/s，向心加速度an＝__________m/s2.向心加速度的求解图5－5－7例3【思路点拨】物体下落的速度大小等于P点的速度大小．【自主解答】由v2＝2ah得下落1m时物体的速度．v＝2ah＝2×2×1m/s＝2m/s即vP＝v＝2m/s.∴ω＝v/r＝2/0.02rad/s＝100rad/san＝v2r＝220.02m/s2＝200m/s2.【答案】100200【方法总结】重物下落过程中滑轮边缘的线速度、向心加速度及滑轮的角速度在不断增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系及向心加速度与线速度、角速度的关系仍然成立．变式训练3(2011年山西临汾模拟)飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可以看成圆弧，如图5－5－8所示，如果这段圆弧的半径r＝800m，飞行员承受的加速度为8g.飞机在最低点P的速率不得超过多少？(g取10m/s2)图5－5－8答案：253m/s解析：飞机在最低点做圆周运动，其向心加速度最大不得超过8g才能保证飞行员的安全．由公式an＝v2r得v＝anr＝8×10×800m/s≈253m/s.