搜索
第1页共15页几何经典难题1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初三）2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．5、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初三）APCDBAFGCEBODD2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDMB·ADHEMCBO第2页共15页PCGFBQADE6、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初三）7、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初三）8、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）·GAODBECQPNM·OQPBDECNM·A第3页共15页9、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．（初二）10、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）11、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）12、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）AFDECBEDACBFDFEPCBAODBFAECP第4页共15页13、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）14、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）15、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）16、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）17、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．APCBPADCBCBDAFPDECBA第5页共15页18、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．19、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．20、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．APCBACBPDEDCBAACBPD第6页共15页解答1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。2.如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300，从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=12A1B1=12B1C1=FB2，EB2=12AB=12BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,从而可得∠A2B2C2=900，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。第7页共15页4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。5.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。第8页共15页6.证明：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，∵OA⊥MN，EF⊥OA，则有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，∵∠PAF=∠AFE=∠AEF=180-∠FCD，∵∠PAF=180-∠FAQ，∴∠FCD=∠FAQ，∴FCAQ四点共圆，∠AFQ=∠ACQ=∠BED，在△EPA和△FQA中∠PEA=∠QFAAF=AE∠PAE=∠QAF，∴△EPA≌△FQA，∴AP=AQ．7.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG====，由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。第9页共15页8.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=2EGFH+。由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。从而可得PQ=2AIBI+=2AB，从而得证。9.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠AEC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF。第10页共15页10.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。11.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZYXZ-+，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得证。第11页共15页12.证明：作CQ⊥PD于Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF，所以PC2=PQ•PO（射影定理），又PC2=PE•PF，所以EFOQ四点共圆，∠EQF=∠EOF=2∠BAD，又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF，而CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因为∠AEC=∠PQC=90°，故B、E、C、Q四点共圆，所以∠EBC=∠EQC=1/2∠EQF=1/2∠EOF=∠BAD，∴CB∥AD，所以BO=DO，即四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，BC=AD．13.顺时针旋转△ABP600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。可得△PQC是直角三角形。所以∠APB=1500。14.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。第12页共15页15.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：BEBC=ADAC，即AD•BC=BE•AC，①又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得ABAC=DEDC，即AB•CD=DE•AC，②由①+②可得:AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)=AC·BD，得证。16.过D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由ADES=2ABCDS=DFCS，可得：2AEPQ=2AEPQ，由AE=FC。可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。17.（1）顺时针旋转△BPC600，可得△PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L=；第13页共15页（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。由于∠APD∠ATP=∠ADP，推出ADAP①又BP+DPBP②和PF+FCPC③又DF=AF④由①②③④可得：最大L2；由（1）和（2）既得：≤L＜2。18.顺时针旋转△BPC600，可得△PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF=213(1)42++=23+=4232+=2(31)2+=2(31)2+第14页共15页=622+。19.顺时针旋转△ABP900，可得如下图：既得正方形边长L=2222(2)()22a++=522a+。第15页共15页20.在AB上找一点F，使∠BCF=600，连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF，得到BE=CF，FG=GE。推出：△FGE为等边三角形，可得∠AFE=800，既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400②推得：DF=DG,得到：△DFE≌△DGE，从而推得：∠FED=∠BED=300。