【优化指导】2013高考数学总复习 2.6指数、指数函数课件 人教版

第六讲指数、指数函数考点考纲要求考查角度幂的运算根式及其性质，分数指数幂，运算性质理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算法则幂的运算，根式的化简指数函数指数函数的图象与性质理解指数函数的含义；理解其单调性，掌握图象上的特殊点用单调性比较幂的大小，求最值；图象及变换作图，求复合函数的单调性、值域等一、指数幂的概念与性质1．幂的有关概念(1)正整数指数幂：(2)零指数幂：a0＝1(a≠0)(3)负整数指数幂：a－p＝1ap(a≠0，p∈N*)(4)正分数指数幂：＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)(5)负分数指数幂：＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)nam1nam2．根式的性质(1)(na)n＝a(2)当n为奇数时，nan＝a当n为偶数时，nan＝|a|＝aa≥0－aa＜0(3)负数没有偶次方根(4)零的任何次方根都是03．幂的运算性质aras＝a＞0，r、s∈Qars＝arsa＞0，r、s∈Qabr＝arbra＞0，b＞0，r∈Qar＋s二、指数函数1．指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2．指数函数的图象特征及函数性质图象特征函数性质a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1向x轴正(负)方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为(0，＋∞)函数图象都过定点(0,1)a0＝1自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数图象特征函数性质在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x＞0，ax＞1x＞0，ax＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1x＜0，ax＜1x＜0，ax＞1图象上升趋势是越来越陡图象下降趋势是越来越缓函数值开始增长速度较慢，到了某一值后增长速度极快函数值开始减小速度极快，到了某一值后减小速度较慢指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠0)，具有性质：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(1)＝a≠0.指数函数是指形如y＝ax(a＞0且a≠1)的函数，其他如y＝2ax，y＝ax－1等函数都不是指数函数，但仍可以借助于y＝ax(a＞0且a≠1)的性质来研究这些函数的性质．3．对于指数函数的几点强调(1)y＞0，图象在x轴上方．(2)恒过定点(0,1)．(3)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图象的无限伸展，x轴是函数图象的渐近线．当0＜a＜1时，x―→＋∞，y―→0.当a＞1时，x―→－∞，y―→0.当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快；当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴．递减的速度越快．(4)画指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)、(0,1)、(－1，1a)．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝(110)x，y＝(12)x，在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．4．判断底数a的大小直线x＝1与A、B、C、D、E它们对应的底数e＞a＞b＞1＞d＞c＞0.答案：B1．化简－(－1)0的结果为()A．－9B．7C．－10D．9解析：原式＝(26)－1＝23－1＝7.答案：B2．下列函数中值域为正实数集的是()A．y＝－5xB．y＝(13)1－xC．y＝12x－1D．y＝1－2x解析：∵1－x∈R，y＝(13)x的值域是正实数集，∴y＝(13)1－x的值域是正实数集．3．函数y＝xax|x|(a1)的图象的大致形状是()解析：当x0时，y＝ax；当x0时，y＝－ax；又a1，故选C.答案：C答案：[－3,1]4．不等式2≤12的解集为__________．解析：2≤12＝2－1，由指数函数y＝2x的单调性可知x2＋2x－4≤－1，即x2＋2x－3≤0，∴(x＋3)(x－1)≤0，∴－3≤x≤1.答案：(－3,1)5．设函数f(x)＝12x－7x＜0xx≥0，若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________．解析：f(a)＜1等价于a＜012a－7＜1或a≥0a＜1.解得－3＜a＜0或0≤a＜1.即－3＜a＜1.不查表计算或化简：(3)a－3a3a－1－a－13a2＋3a＋1－a＋13a＋1.【自主解答】【题后总结】根式的运算常常化成幂的运算来进行，利用分数指数幂进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算，最后结果再化为根式形式．进行幂的运算时要运用幂的运算性质来进行，同时应注意幂的运算性质成立的前提.已知函数y＝(13)|x＋1|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时有最值．【自主解答】(1)解法一：由函数解析式可得y＝(13)|x＋1|＝13x＋1x≥－13x＋1x－1，其图象由两部分组成：一部分是：y＝(13)x(x≥0)――→向左平移1个单位y＝(13)x＋1(x≥－1)；另一部分是：y＝3x(x0)――→向左平移1个单位y＝3x＋1(x－1)．如图：解法二：①由y＝(13)|x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝(13)x的图象保留x≥0的部分，当x0时，其图象是将y＝(13)x(x≥0)的图象关于y轴对折，从而得出y＝(13)|x|的图象．②将y＝(13)|x|向左移动1个单位，即可得y＝(13)|x＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．(3)由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．【题后总结】带有绝对值的图象作图，一般分为两种情况，一种是去掉绝对值作图，一种是不去绝对值，如y＝f(|x|)可依据函数是偶函数，先作出y＝f(x)(x≥0)的图象，x0时的图象只需将y＝f(x)(x≥0)图象关于y轴对称过去即可，又如y＝|f(x)|的图象，可作出y＝f(x)的图象，保留x轴上方图象，将下方图象关于x轴对称过去即可得y＝|f(x)|的图象．在作函数图象时应借助基本函数的图象．【活学活用】1.k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？解：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0k1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a、b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．【规范解答】(1)由已知，得f(0)＝0，f(1)＋f(－1)＝02分∴b－1a＋2＝0b－2a＋4＋b－12a＋1＝0解得b＝1a＝25分∴a＝2，b＝1.6分(2)∵f(x)＝1－2x2x＋1＋2＝－12＋12·12x＋1在R上递减8分又f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，即f(t2－2t)f(k－2t2)恒成立．∴t2－2tk－2t2恒成立即k3t2－2t恒成立10分∵3t2－2t＝3(t－13)2－13≥－13∴3t2－2t有最小值－13∴k－13.12分【题后总结】指数函数的性质是高考的必考内容之一，其中指数函数的单调性是命题的热点．指数函数y＝ax(a0且a≠1)的单调性取决于底数a与“1”的大小关系，即0a1时，指数函数是减函数；a1时，指数函数为增函数．利用单调性可以解决有关的大小比较问题，进而可解指数方程和不等式问题．【活学活用】2.已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为区间[0,1]．(1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；(3)求g(x)的值域．解：(1)∵f(x)＝3x，且f(a＋2)＝3a＋2＝18，∴3a＝2.∵g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x，∴g(x)＝2x－4x.(2)∵函数g(x)的定义域为[0,1]，令t＝2x.∵x∈[0,1]，函数t＝2x在区间[0,1]上单调递增，且t∈[1,2]，则y＝t－t2在[1,2]上单调递减，∴g(x)在[0,1]上单调递减．证明如下：设x1，x2为区间[0,1]内任意两值，且x1x2，则g(x2)－g(x1)＝2x2－4x2－2x1＋4x1＝(2x2－2x1)－(2x2－2x1)(2x2＋2x1)＝(2x2－2x1)(1－2x2－2x1)，∵0≤x1x2≤1，∴2x22x1.且1≤2x12,12x2≤2，∴22x1＋2x24.∴－31－2x1－2x2－1.可知(2x2－2x1)(1－2x1－2x2)0，∴g(x2)g(x1)．∴函数g(x)在[0,1]上单调递减．(3)∵g(x)在[0,1]上是减函数，∴g(1)≤g(x)≤g(0)．∵g(1)＝21－41＝－2，g(0)＝20－40＝0，∴－2≤g(x)≤0.故函数g(x)的值域为[－2,0].易错点：大小比较问题的方法不当致误设，则a，b，c的大小关系是A．acbB．abcC．cabD．bca【错因分析】解决本题容易出现不能准确选择中间量而导致错解，解决此类比较大小的问题时，常出现以下错误：1．有时不善于观察数字的特征而去盲目比较，造成错解．2．采用估算法求解，会造成估算过大或过小导致错解．3．不能合理构造函数，忽略函数的单调性而造成错解．4．对比较大小问题不能合理运用常规方法．【规范解答】解法一：先比较b和c，构造函数y＝(25)x，∵0251，∴y＝(25)x是减函数，而3525，所以cb；再比较a和c，观察a和c的底不同，但指数相同，则ac，故acb.【状元笔记】比较多个幂值的大小，应合理选择中间量，构造指数函数模型，运用指数函数的单调性加以比较．解法二：由题意a，b，c∈(0，＋∞)，且a5＝(35)2＝925，b5＝(25)3＝8125，c5＝(25)2＝425，所以acb.答案：D【纠错体验】已知，则a、b、c的大小关系是()A．cabB．abcC．bacD．cba解析：利用两个指数函数y＝(34)x、y＝(32)x的图象关系可得．