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长方体和正方体（二）例题1有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。练一练1：有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？解：设两个池中水面的高度为x米，由题意得8×6×x+4×4×x=8×6×348x+16x=14464x=144x=2.25．答：水面的高度是2.25米．计算法：总水量是8×6×3=144立方分米甲的底面积是8×6=48平方分米乙的底面积是4×4=16平方分米两者水面高度是：144÷（48+16）=2.25（分米）答：水面的高度是2.25米．练一练2：有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？水箱的底面积是：40×30＝1200（平方厘米）水的体积是：1200×10＝12000（立方厘米）正方体铁块的底面积是：20×20＝400（平方厘米）水箱放入正方体铁块后,底面积变成了1200－400＝800（平方厘米）现在水面高：12000÷800＝15（厘米）答：这时水面高15厘米。典型例题精讲2将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。分析因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这个正方体的棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6×（4×4），棱长是4厘米；150=6×（5×5），棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们的体积和。体积=3×3×3+4×4×4+5×5×5=216立方厘米答：这个大正方体的体积是216立方厘米。练一练1：:有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。24÷6=4（平方厘米），因为2×2=4，所以棱长是2厘54÷6=9（平方厘米），因为3×3=9，所以棱长是3厘米294÷6=49（平方厘米）因为7×7=49，所以棱长是7厘大正方体体积：2×2×2+3×3×3+7×7×7=378（立方厘米）答：这个大正方体的体积是378立方厘米．练一练2：将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。两个正方体熔铸成一个长方体,体积不变.表面积为216平方厘米的正方体,一个面的面积为36平方厘米,棱长为6厘米,体积为6×6×6=216（平方厘米）表面积为384平方厘米的正方形,一个面的面积为64平方厘米,棱长为8厘米,体积为8×8×8=512（平方厘米）熔铸成的长方体的高为：（216+512）÷（13×7）=8（厘米）答：熔铸成的长方体的高为8厘米.典型例题精讲3一个长方体盛水容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米，如果把铁柱取出，容器里的水深将是多少厘米？【思路导航】将铁柱取出，下降的水的体积等于铁柱的体积，先根据长方体体积=长×宽×高计算出铁柱的体积，再除以长方体容器的底面积就可以求出下降的水的高度，用原来的高度减去下降的高度就是现在的水深．0.5米=50厘米50×15×15=11250（立方厘米）11250÷60÷60=3.125（厘米），50-3.125=46.875（厘米）．答：容器里的水深是46.875厘米．练一练1有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中，取出铁块后，水面下降了0.5厘米，这长方体容器的底面积是多少平方厘米？5×5×5÷0.5，=125÷0.5，=250（平方厘米）答：长方体容器的底面积是250平方厘米。练一练2：有大中小三个长方形水池，它们的池口都是正方形，边长分别为6分米，3分米和2分米．现在把两堆碎石分别沉入中小两个水池内．这两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果把这两堆碎石都沉入大池内，那么，大池的水面将升高多少厘米？（结果保留整数）6分米=60厘米，3分米=30厘米，2分米=20厘米，放中池里碎石的体积：30×30×6=5400（立方厘米），放小池里碎石的体积：20×20×4=1600（立方厘米），两堆碎石总体积：5400+1600=7000（立方厘米），大水池的水面升高：7000÷（60×60）≈2（厘米），答：大水池的水面升高了2厘米．典型例题精讲4有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？【思路导航】首先求出水的体积30×20×6=3600（立方厘米）。当容器竖起来以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。30×20×6÷（20×10）=18（厘米）答：竖起来后水深18厘米。练一练1：有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米；乙缸长4分米、宽2分米，里面的水深1.5分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？4×2×1.5÷（3×2）=12÷6，=2（分米）答：水深2分米。练一练:2：有一块边长2分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截面是一个长4厘米、宽2厘米的长方形，求它的长。2×2×2÷（4×2）=1（厘米）答：它的高是1厘米．典型例题精讲5一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球．第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中，已知每次从容器中溢出的水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍．那么大球的体积是小球的多少倍？【思路导航】第一次从容器中溢出的水量=小球的体积V1；第二次从容器中溢出的水量+小球的体积V1=中球的体积V2；即第二次从容器中溢出的水量=中球的体积V2-小球的体积V1=3V1，V2=4V1；第三次从容器中溢出的水量+中球的体积V2=大球的体积V3+小球的体积V1；即第三次从容器中溢出的水量=大球的体积V3+小球的体积V1-中球的体积V2=2.5V1，V3+V1-4V1=2.5V1V3=5.5V1，答：大球的体积是小球的5.5倍．练一练1：一个正方形容器，边长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中．问会溢出多少立方厘米的水？12×25=300（立方厘米）．答：会溢出300立方厘米的水．练一练:2：一个长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长为15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深为0.5米．现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？15×15×24÷（60×60-15×15）=5400÷3375=1.6（厘米）24+1.6=25.6（厘米）答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6厘米长方体和正方体（三）例1.一个长方体，表面积是368平方厘米，底面积是40平方厘米，底面周长是36厘米，求这个长方体的体积。368-40×2=288平方厘米288÷36=8（厘米）V=40×8=320（立方厘米）答：这个长方体的体积是320立方厘米。例2.将一个长方体的长减小5厘米，变成了正方体，正方体表面积比原来长方体表面积减少了60平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？60÷4=15（平方厘米）15÷5=3（厘米）3×3×（5+3）=72（平方厘米）答：原来长方体的体积是72立方厘米。例3.有甲，乙两个水箱，从里面测量，甲水箱长15分米，宽10分米，高8分米，乙水箱长10分米，宽10分米，高9分米，甲水箱装满水，乙水箱空着，现将甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中，使两箱水水面高度一样，两个水箱的水面高度是多少分米？甲水箱的体积=15×10×8=1200（立方分米）1200÷（15×10+10×10）=4.8（分米）答：两个水箱的水面高度是4.8分米。例4.一个长方体的长为12厘米，高为8厘米，前后两个面，上面和侧面各一个面的面积之和是392平方厘米，求另外两个面积是多少平方厘米？这个长方体的体积是多少立方厘米？（1）另外两个面积是:392-12×8×2=200（平方厘米）（2）200÷（12+8）=10（厘米）体积=12×10×8=960（立方厘米）答：另外两个面积是200平方厘米，长方体的体积是960立方厘米。例5.某工人用薄板钉成一个长方体的邮包包装箱，并用编织绳在三个方向上加固，使用的编织绳长度分别为365厘米、405厘米、485厘米。若每根编织绳加固时结头都是5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米？（365-5）÷2=180厘米（405-5）÷2=200厘米（485-5）÷2=240厘米长+宽+高=(180+200+240)÷2=310厘米长=310-180=130厘米宽=310-200=110厘米高=310-240=70厘米V=130×110×70=1001000立方厘米=1.001立方米例6.有甲乙丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的二分之一，乙的棱长是丙的棱长的三分之二。如果用甲乙丙三种木块拼成一个尽可能小的大正方体（每块至少用一块），那么最多需要这三种木块共多少块？最少需要用这三种木块共多少块？根据已知条件得知甲乙丙棱长之比是：甲：乙：丙=1:2:3（1）最少：如果用棱长是3厘米的丙正方体拼成较大的正方体，至少用8块，拿掉一块丙用乙和甲来补，需要乙1块，甲19块，共需要甲+乙+丙=19+1+7=27块。（2）最多用92块。如果拼成棱长是5厘米的正方体，用一块丙和一块乙，需要甲=5×5×5-2×2×2-3×3×3=90（块）90+1+1=92（块）例7.在底面边长是60厘米的正方形的一个长方体容器里，直立着一个长100厘米，底面为边长15厘米的正方形的四棱柱铁棍，这时容器里的水深为50厘米，现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱，浸湿部分长多少厘米？方法一、15×15×24÷（60×60-15×15）=1.6厘米24+1.6=25.6厘米答：浸湿部分长25.6厘米。方法二、解设：拔出24厘米后，浸在水里的部分为X厘米。（60×60-15×15）X+60×60×24=（60×60-15×15）×503375X=82350X=24.450-24.4=25.6（厘米）答：露出水面的四棱柱，浸湿部分长25.6厘米。例8.把一个棱长为4厘米的大正方体木块切成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体的表面积的总和是多少平方厘米？方法一：共分成4×4×4=64（个）S=1×1×6×64=384（平方厘米）方法二：沿着长、宽、高分别切三刀，共切9刀，一共增加9×2=18个面，加上原来的六个面共有18+6=24（个）S=4×4×24=384（平方厘米）答：这些小正方体的表面积的总和是384平方厘米。例9把一个长12分米，宽6分米，高10分米的长方体截成3个相同的小长方体，它的表面积最多可以增加多少平方分米？例10.在棱长为3厘米的正方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口边长为1厘米的正方形，求挖洞后木块的体积和表面积。V=3×