长方体正方体奥数举一反三

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长方体和正方体(二)例题1有两个无盖的长方体水箱,甲水箱里有水,乙水箱空着。从里面量,甲水箱长40厘米,宽32厘米,水面高20厘米;乙水箱长30厘米,宽24厘米,深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱,使两箱水面高度一样,现在水面高多少厘米?【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样,我们可以这样思考:把两个水箱并靠在一起,水的体积就是(甲水箱的底面积+乙水箱的底面)×水面的高度。这样,我们只要先求出原来甲水箱中的体积:40×32×20=25600(立方厘米),再除以两只水箱的底面积和:40×32+30×24=2000(平方厘米),就能得到后来水面的高度。练一练1:有两个水池,甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米,乙水池空着,它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池,使两个水池中水面同样高。问水面高多少?解:设两个池中水面的高度为x米,由题意得8×6×x+4×4×x=8×6×348x+16x=14464x=144x=2.25.答:水面的高度是2.25米.计算法:总水量是8×6×3=144立方分米甲的底面积是8×6=48平方分米乙的底面积是4×4=16平方分米两者水面高度是:144÷(48+16)=2.25(分米)答:水面的高度是2.25米.练一练2:有一个长方体水箱,从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后,铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米?水箱的底面积是:40×30=1200(平方厘米)水的体积是:1200×10=12000(立方厘米)正方体铁块的底面积是:20×20=400(平方厘米)水箱放入正方体铁块后,底面积变成了1200-400=800(平方厘米)现在水面高:12000÷800=15(厘米)答:这时水面高15厘米。典型例题精讲2将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积。分析因为正方体的六个面都相等,而54=6×9=6×(3×3),所以这个正方体的棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长:96=6×(4×4),棱长是4厘米;150=6×(5×5),棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积,这个大正方体的体积就等于它们的体积和。体积=3×3×3+4×4×4+5×5×5=216立方厘米答:这个大正方体的体积是216立方厘米。练一练1::有三个正方体铁块,它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体,求这个大正方体的体积。24÷6=4(平方厘米),因为2×2=4,所以棱长是2厘54÷6=9(平方厘米),因为3×3=9,所以棱长是3厘米294÷6=49(平方厘米)因为7×7=49,所以棱长是7厘大正方体体积:2×2×2+3×3×3+7×7×7=378(立方厘米)答:这个大正方体的体积是378立方厘米.练一练2:将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体,已知这个长方体的长是13厘米,宽7厘米,求它的高。两个正方体熔铸成一个长方体,体积不变.表面积为216平方厘米的正方体,一个面的面积为36平方厘米,棱长为6厘米,体积为6×6×6=216(平方厘米)表面积为384平方厘米的正方形,一个面的面积为64平方厘米,棱长为8厘米,体积为8×8×8=512(平方厘米)熔铸成的长方体的高为:(216+512)÷(13×7)=8(厘米)答:熔铸成的长方体的高为8厘米.典型例题精讲3一个长方体盛水容器的底面是一个边长60厘米的正方形,容器里直立着一个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块,这时容器里的水深0.5米,如果把铁柱取出,容器里的水深将是多少厘米?【思路导航】将铁柱取出,下降的水的体积等于铁柱的体积,先根据长方体体积=长×宽×高计算出铁柱的体积,再除以长方体容器的底面积就可以求出下降的水的高度,用原来的高度减去下降的高度就是现在的水深.0.5米=50厘米50×15×15=11250(立方厘米)11250÷60÷60=3.125(厘米),50-3.125=46.875(厘米).答:容器里的水深是46.875厘米.练一练1有一块边长是5厘米的正方体铁块,浸没在一个长方体容器里的水中,取出铁块后,水面下降了0.5厘米,这长方体容器的底面积是多少平方厘米?5×5×5÷0.5,=125÷0.5,=250(平方厘米)答:长方体容器的底面积是250平方厘米。练一练2:有大中小三个长方形水池,它们的池口都是正方形,边长分别为6分米,3分米和2分米.现在把两堆碎石分别沉入中小两个水池内.这两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米.如果把这两堆碎石都沉入大池内,那么,大池的水面将升高多少厘米?(结果保留整数)6分米=60厘米,3分米=30厘米,2分米=20厘米,放中池里碎石的体积:30×30×6=5400(立方厘米),放小池里碎石的体积:20×20×4=1600(立方厘米),两堆碎石总体积:5400+1600=7000(立方厘米),大水池的水面升高:7000÷(60×60)≈2(厘米),答:大水池的水面升高了2厘米.典型例题精讲4有一个长方体容器(如下图),长30厘米、宽20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧,再朝左竖起来,里面的水深应该是多少厘米?【思路导航】首先求出水的体积30×20×6=3600(立方厘米)。当容器竖起来以后,水流动了,但体积没有变,这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。30×20×6÷(20×10)=18(厘米)答:竖起来后水深18厘米。练一练1:有两个长方体水缸,甲缸长3分米,宽和高都是2分米;乙缸长4分米、宽2分米,里面的水深1.5分米。现把乙缸中的水倒进甲缸,水在甲缸里深几分米?4×2×1.5÷(3×2)=12÷6,=2(分米)答:水深2分米。练一练:2:有一块边长2分米的正方体铁块,现把它煅造成一根长方体,这长方体的截面是一个长4厘米、宽2厘米的长方形,求它的长。2×2×2÷(4×2)=1(厘米)答:它的高是1厘米.典型例题精讲5一个长方体容器内装满水,现在有大、中、小三个铁球.第一次把小球沉入水中;第二次把小球取出,把中球沉入水中;第三次把中球取出,把小球和大球一起沉入水中,已知每次从容器中溢出的水量的情况是:第二次是第一次的3倍,第三次是第一次的2.5倍.那么大球的体积是小球的多少倍?【思路导航】第一次从容器中溢出的水量=小球的体积V1;第二次从容器中溢出的水量+小球的体积V1=中球的体积V2;即第二次从容器中溢出的水量=中球的体积V2-小球的体积V1=3V1,V2=4V1;第三次从容器中溢出的水量+中球的体积V2=大球的体积V3+小球的体积V1;即第三次从容器中溢出的水量=大球的体积V3+小球的体积V1-中球的体积V2=2.5V1,V3+V1-4V1=2.5V1V3=5.5V1,答:大球的体积是小球的5.5倍.练一练1:一个正方形容器,边长是25厘米,里面注满了水,有一根长50厘米,横截面是12平方厘米的长方体铁棒,现将铁棒垂直插入水中.问会溢出多少立方厘米的水?12×25=300(立方厘米).答:会溢出300立方厘米的水.练一练:2:一个长方体容器,底面是一个边长为60厘米的正方形,容器里直立着一个高1米,底面边长为15厘米的长方体铁块,这时容器里的水深为0.5米.现在把铁块轻轻地向上提起24厘米,那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?15×15×24÷(60×60-15×15)=5400÷3375=1.6(厘米)24+1.6=25.6(厘米)答:露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6厘米长方体和正方体(三)例1.一个长方体,表面积是368平方厘米,底面积是40平方厘米,底面周长是36厘米,求这个长方体的体积。368-40×2=288平方厘米288÷36=8(厘米)V=40×8=320(立方厘米)答:这个长方体的体积是320立方厘米。例2.将一个长方体的长减小5厘米,变成了正方体,正方体表面积比原来长方体表面积减少了60平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米?60÷4=15(平方厘米)15÷5=3(厘米)3×3×(5+3)=72(平方厘米)答:原来长方体的体积是72立方厘米。例3.有甲,乙两个水箱,从里面测量,甲水箱长15分米,宽10分米,高8分米,乙水箱长10分米,宽10分米,高9分米,甲水箱装满水,乙水箱空着,现将甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中,使两箱水水面高度一样,两个水箱的水面高度是多少分米?甲水箱的体积=15×10×8=1200(立方分米)1200÷(15×10+10×10)=4.8(分米)答:两个水箱的水面高度是4.8分米。例4.一个长方体的长为12厘米,高为8厘米,前后两个面,上面和侧面各一个面的面积之和是392平方厘米,求另外两个面积是多少平方厘米?这个长方体的体积是多少立方厘米?(1)另外两个面积是:392-12×8×2=200(平方厘米)(2)200÷(12+8)=10(厘米)体积=12×10×8=960(立方厘米)答:另外两个面积是200平方厘米,长方体的体积是960立方厘米。例5.某工人用薄板钉成一个长方体的邮包包装箱,并用编织绳在三个方向上加固,使用的编织绳长度分别为365厘米、405厘米、485厘米。若每根编织绳加固时结头都是5厘米,则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?(365-5)÷2=180厘米(405-5)÷2=200厘米(485-5)÷2=240厘米长+宽+高=(180+200+240)÷2=310厘米长=310-180=130厘米宽=310-200=110厘米高=310-240=70厘米V=130×110×70=1001000立方厘米=1.001立方米例6.有甲乙丙三种大小不同的正方体木块,其中甲的棱长是乙的棱长的二分之一,乙的棱长是丙的棱长的三分之二。如果用甲乙丙三种木块拼成一个尽可能小的大正方体(每块至少用一块),那么最多需要这三种木块共多少块?最少需要用这三种木块共多少块?根据已知条件得知甲乙丙棱长之比是:甲:乙:丙=1:2:3(1)最少:如果用棱长是3厘米的丙正方体拼成较大的正方体,至少用8块,拿掉一块丙用乙和甲来补,需要乙1块,甲19块,共需要甲+乙+丙=19+1+7=27块。(2)最多用92块。如果拼成棱长是5厘米的正方体,用一块丙和一块乙,需要甲=5×5×5-2×2×2-3×3×3=90(块)90+1+1=92(块)例7.在底面边长是60厘米的正方形的一个长方体容器里,直立着一个长100厘米,底面为边长15厘米的正方形的四棱柱铁棍,这时容器里的水深为50厘米,现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米,露出水面的四棱柱,浸湿部分长多少厘米?方法一、15×15×24÷(60×60-15×15)=1.6厘米24+1.6=25.6厘米答:浸湿部分长25.6厘米。方法二、解设:拔出24厘米后,浸在水里的部分为X厘米。(60×60-15×15)X+60×60×24=(60×60-15×15)×503375X=82350X=24.450-24.4=25.6(厘米)答:露出水面的四棱柱,浸湿部分长25.6厘米。例8.把一个棱长为4厘米的大正方体木块切成棱长为1厘米的小正方体,这些小正方体的表面积的总和是多少平方厘米?方法一:共分成4×4×4=64(个)S=1×1×6×64=384(平方厘米)方法二:沿着长、宽、高分别切三刀,共切9刀,一共增加9×2=18个面,加上原来的六个面共有18+6=24(个)S=4×4×24=384(平方厘米)答:这些小正方体的表面积的总和是384平方厘米。例9把一个长12分米,宽6分米,高10分米的长方体截成3个相同的小长方体,它的表面积最多可以增加多少平方分米?例10.在棱长为3厘米的正方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞,洞口边长为1厘米的正方形,求挖洞后木块的体积和表面积。V=3×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