因式分解知识点总结

第一讲因式分解一，知识梳理1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：111()333axbxxab因式分解，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：333234221286abcabcabc的公因式是．解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分33323422,,abcabcabc都含有因式32abc，故多项式的公因式是232abc.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例1：把2233121824ababab分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。解：2233121824ababab226(234)ababab例2：把多项式3(4)(4)xxx分解因式解析：由于4(4)xx，多项式3(4)(4)xxx可以变形为3(4)(4)xxx,我们可以发现多项式各项都含有公因式（4x）,所以我们可以提取公因式（4x）后,再将多项式写成积的形式.解：3(4)(4)xxx=3(4)(4)xxx=(3)(4)xx例3：把多项式22xx分解因式解：22xx=2(2)(2)xxxx（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。2222233223322.()().2().()().()()aabababbabbabcababaabbdababaabb逆用平方差公式：逆用完全平方公式：a逆用立方和公式：（拓展）逆用立方差公式：（拓展）注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例1：因式分解21449aa解：21449aa=2(7)a例2：因式分解222()()aabcbc解：222()()aabcbc=2()abc（3）分组分解法（拓展）①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式1abab分解因式解：1abab=()(1)abab=(1)(1)(1)(1)abbab②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.例：将多项式2221aabb因式分解解：2221aabb=222(2)1()1(1)(1)aabbababab（4）十字相乘法（形如2()()()xpqxpqxpxq形式的多项式，可以考虑运用此种方法）方法：常数项拆成两个因数pq和，这两数的和pq为一次项系数2()xpqxpqxpxq2()()()xpqxpqxpxq例：分解因式230xx分解因式252100xx补充点详解补充点详解我们可以将-30分解成p×q的形式，我们可以将100分解成p×q的形式，使p+q=-1,p×q=-30,我们就有p=-6,使p+q=52,p×q=100,我们就有p=2,q=5或q=-6,p=5。q=50或q=2,p=50。所以将多项式2()xpqxpq可以分所以将多项式2()xpqxpq可以分解为()()xpxq解为()()xpxqx5x2x-6x50230xx(6)(5)xx252100xx(50)(2)xx3.因式分解的一般步骤：如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。一、例题解析提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例1】分解因式：⑴2121510nnaababba(n为正整数)⑵212146nmnmabab(m、n为大于1的自然数)【巩固】分解因式：2122()()()2()()nnnxyxzxyyxyz，n为正整数.【例2】先化简再求值，2yxyxyxyx，其中2x，12y．【巩固】求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)xxxxxxx，其中23x.【例3】已知：2bca，求22221()()(222)33333aabcbcabcbca的值.【巩固】分解因式：322()()()()()xxyzyzaxzzxyxyzxyxza.