电工与电子技术第3章正弦交流稳态电路

第3章正弦交流稳态电路本章主要内容本章主要介绍电路基本元器件的相量模型、基本定律的相量形式、阻抗、导纳、正弦稳态电路的相量分析法及正弦稳态电路中的功率、功率因数及功率因数的提高。【引例】RC低通滤波器仿真电路仿真波形如何工作的？RCiUoU3.1正弦量的基本概念3.1.1正弦量随时间按正弦规律变化的电压或电流，称为正弦电压或正弦电流，统称为正弦量，其相应的波形称为正弦波。misin()iItmusin()uUt函数表达式iuZ正弦电路tOiuiuiu,波形图注意：电流的瞬时值有时为正，有时为负。而对于电流数值的正负必须在设定参考方向的前提下才有实际意义，因此对正弦电流也必须设定参考方向。3.1.2正弦量的三要素3.1正弦量的基本概念misin()iIt幅值角频率初相角将Im、ω和φi称为正弦量的三要素1．频率、周期和角频率※周期T（s）：正弦量变化一周所需要的时间；0t2imImIi2TT※频率f（Hz）：正弦量每秒变化的次数；※角频率ω（rad/s)：正弦量每秒钟变化的角弧度；三者的关系：Tf1fT22我国电网供电的电压频率为50Hz，该频率称为工频。美国、日本电网供电频率为60Hz，欧洲绝大多数国家的供电频率为50Hz2．相位和初相位3.1正弦量的基本概念misin()iIt※相位：正弦量随时间变化的角度，即（ωt+ψi），或称相角；※初相位：时间t=0时所对应的相位φi（或称初相角）。注意：在电路中，初相位与计时零点的选择有关。对于同一正弦量，如果其计时零点不同，其初相位也就不同。对于同一电路中的多个相关的正弦量，只能选择一个共同的计时零点确定各自的初相位。0t2imImIi2TT0timImIi003.1正弦量的基本概念3．相位差※相位差：两个同频率的正弦量之间的相位之差，或为它们的初相位之差。注意：（1）相位差是与频率无关的常数；（2）相位差的取值范围为∣φ∣≤180o；（3）相位差决定两个正弦量的相位关系。11m122m2sin()sin()iItiIt1212()()tttOi1i2i120※当φ0时，称i1超前i2；※当φ0时，称i1滞后i2；3.1正弦量的基本概念※当φ=0时，称i1与i2同相位tOi1i2i120tOi1i2i120※当φ=±π时，称i1与i2反相位；tOi1i2i12※当φ=±π/2时，称i1与i2正交；tOi1i2i12/23.1正弦量的基本概念4．幅值（或称振幅）和有效值misin()iIt0t2iφmImIi2TT※幅值（振幅）：正弦电流在整个变化过程中能到达的最大值。※有效值：为正弦量的均方根值，是幅值的1/。2注意：在电路测量过程中，交流电压表、交流电流表所指示的电压、电流读数都是有效值。交流电机等电器的铭牌数据所标注的额定电压和电流也是指有效值。例如通常所说的220V正弦交流电压就是表示该正弦电压的有效值是220V，而其幅值为×220=311V。在我国，民用电网的供电电压为220V，日本和美国的供电电压为110V，欧洲绝大多数国家的供电电压也为220V。2miisin()2sin()iItIt正弦量表达式也可表示为：3.1正弦量的基本概念【例3.1-1】已知某电压正弦量为。试求该电压的有效值、频率、初始值，并画出其波形图。V)6314sin(100tu【解】V7.7021002mUU该电压的有效值为：角频率为：rad/s314频率为：Hz502314f初始值为：V5030sin100)6sin(100)0(u其波形如图所示O6rad/t100V/u23.1正弦量的基本概念【例3.1-2】已知电流，，，试比较它们的相位关系。A)30sin(301tiA)15sin(202tiA)sin(153ti【解】i1、i2、i3是同频率的正弦量，且初相位分别为：13021530则i1、i2的相位差为φ1-φ2=300-（-150）=450（i1超前i2450）i2、i3的相位差为φ2-φ3=-150-00=-150（i2滞后i3150）i1、i3的相位差为φ1-φ3=300–00=300（i1超前i2300）3.2正弦量的相量表示法3.2.1正弦量的相量表示mI1jOmIimisin()iIt虚轴实轴幅值初相角最大值相量最大值相量图正弦量的相量表示数学意义：1j)(titmIOOmIii由于正弦量按周期性变化360o，所以正弦量的相量是以ω角频率旋转的相量。正弦电流在任一时刻的值，等于对应的旋转相量该时刻在虚轴上的投影。ω3.2正弦量的相量表示法注意：（1）相量只表示正弦量；（2）只有同频率的正弦量的相量才能画在同一复平面上；（3）正弦量的相量有最大值相量和有效值相量，只是模不同而已，一般为有效值相量。※相量变换：将一个正弦量表示为相量或将一个相量表示成正弦量的过程。※相量图：相量在复平面上的图。相量图可以形象的表示出各个相量的大小和相位关系。【例3.2-1】已知电流，。试画出这两个正弦量的相量图。A)30sin(251tiA)60sin(2102ti【解】A25m1IA2102mIA51IA102IO30601I1mI2mI2I1jA255AA21010A1302603.2.2正弦量的相量形式3.2正弦量的相量表示法1．相量的直角表示Oab1jUbaUjcossinaUbUj(cosjsin)UabU正弦量的有效值相量代数式（也称为三角函数式）表示为3.2正弦量的相量表示法2.相量的指数表示jcosjsine欧拉公式j(cosjsin)UUUe指数式UU极坐标式注意：在正弦稳态电路中，所有的电压和电流都是同频率的正弦量，相量就可以代表一个正弦量参加运算，从而把复杂的三角函数运算转化为简单的复数运算。这种利用相量表示正弦量，从而简化正弦稳态电路的分析方法称为相量法。3.2正弦量的相量表示法【例3.2-2】已知电流，。试求。A)45sin(1001tiA)30sin(602ti21iii【解】解法一，用相量图法求解A4521001IA302602I相量图如图1I2I21II453036.181jO由余弦定理得A36.184.91IA)36.18+sin(25.129=tωi解法二，用相量式求解A)71.70j71.70(A)45sinj45(cos100451001mIj30)A(51.96A)]30sin(j)30[cos(6030602mIA25.129A)71.40j67.122(36.18j2m1mmeIIIA)36.18sin(25.12921tiiijAAe当某相量乘上±j时，即3.2正弦量的相量表示法3.旋转因子j)±(90j±ej)90sin(j)90cos(j90sinj90cos90j90jeej90jj(90)90jj(90)jjAeAeAeAeAeAe1jjAOAj-A当相量乘上+j或-j时，等于逆时针方向旋转900或顺时针方向旋转900，。将或±j称为旋转因子。AA90je3.3电路元件的相量模型3.3.1电阻元件的相量模型Rui电阻元件正弦电路设电阻两端的电压与通过电阻的电流采用关联参考方向，且i2sin()iItii2sin()2sin()uRiRItUt结论：电阻两端电压和通过电阻的电流频率相同，相位相同。tuiuiO波形图1、电压、电流关系欧姆定律（1）瞬时值关系3.3电路元件的相量模型ii2sin()2sin()uRiRItUtRIURIUIUmm结论：在电阻元件电路中，电压的有效值（或幅值）与电流的有效值（或幅值）的比值，就是电阻R。（2）有效值关系（3）相量关系jiUUejiIIe2sin()iuUti2sin()iItiijjUUeRIIe相量式IRU结论：在电阻元件电路中，电压与电流的相量之比，也等于电阻R。IRU电阻元件相量模型I1jOU相量图3.3电路元件的相量模型2.功率和能量（1）瞬时功率iii2sin()2sin()[1cos2()]puiUtItUIt结论：p由两部分组成，第一部分是常量UI，第二部分是幅值为UI，并以ω的角频率随时间变化的交变量，且p0，说明电阻取用能量。OptP瞬时功率波形图（2）平均功率（有功功率）22i0011d[1cos2()]dttUPptUIttUIRITTR电压、电流有效值注意：有功功率是电阻元件真正消耗的功率，其单位为瓦特（W）。3.3电路元件的相量模型【例3.3-1】一阻值为1kΩ、额定功率为1/4W的电阻，接于频率为50Hz、电压有效值为12V的正弦电源上。试问（1）通过电阻的电流为多少？（2）电阻元件消耗的功率是否超过额定值？（3）当电源电压不改变而电源频率改变为5000Hz时，电阻元件的电流和消耗的功率有何变化？【解】12mA100012RUI0.144W10001222RUP（1）（2）结论：电阻元件的功率小于其额定功率，所以电阻元件在电路中正常工作。（3）由于电阻元件的电阻值与频率无关，所以频率改变时，I与P不变。3.3电路元件的相量模型3.3.2电感元件的相量模型1.电感元件uiLe、uiLeL外形图示意图电路符号磁通磁链自感电动势根据电磁感应定律得tiLtΦNteddddddL结论：该感应电动势将阻碍电流的变化，与电流变化率成正比。电感系数3.3电路元件的相量模型2.电压与电流的关系uiLeLtiLeuddL（1）瞬时值的关系结论：电感元件两端的电压u与流过电流i的变化率成正比。如果电感元件通以恒定电流，则有u=0，这时电感相当于短路。tIisin2设：)90+sin(2=)2+sin(2=]sin2[dd=dd=tωUπtωLIωtωItLtiLu结论：正弦稳态电路中，电感元件的电压和电流是同频率的正弦量，但电压的相位超前电流900。tui,uiO波形图3.3电路元件的相量模型（2）有效值的关系)90+sin(2=)2+sin(2=]sin2[dd=dd=tωUπtωLIωtωItLtiLuLIULIU结论：电感元件两端的电压与电流有效值之为ωL，称为感抗，其单位为Ω，具有阻碍交流电流的特性，用XL表示，即fLLX2L结论：感抗XL与电感L、频率f成正比。当电感一定时，电源的频率越高时，其感抗就越大；而对于直流电路，频率f=0，XL=0，故电感在直流电路中相当于短路。fILXfLX2LfLUI2OI、XL与频率的关系3.3电路元件的相量模型（2）相量关系tIisin2IIeIj0)90+sin(2=tωUu09jUeUL09j09jjXeIUIUeIUILIXUjjL结论：电感元件两端的电压与电流相量之比为jXL，其中j表示两者相位差为900，XL表示两者有效值之比。LjUIUI1jO相量模型相量图3.3电路元件的相量模型3.电感的功率和能量（1）瞬时功率tωUIπtωUtωIuip2sin=)2+sin(2)sin(2==结论：电感的瞬时功率是一个幅值为UI，并以2ω