24. 1. 2垂直于弦的直径

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．圆上任意两点间的部分叫做圆弧弧(半圆)劣弧与优弧等圆(同心圆)与等弧弦(直径)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆圆圆心为O，半径为r的圆可以看成是:所有到定点的距离等于定长r的点的集合。能够重合的两个圆叫做等圆圆心相同的圆叫做同心圆在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧2.你能找出多少条对称轴？你能用什么方法解决上述问题？可以发现：1、圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴．1.圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么？?2.它有无数条对称轴，可用对折方法解决上述问题ABABCD思考：问题1.图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果有，你能找到多少对？O问题2.AB作怎样的变换时，相等的线段有：OA=OC=OB=OD，AB=CD相等的弧有：结论：当CD⊥AB时，AC=BC,AD=BDAC=BC,AD=BD,AC=BD,BC=AD,CDO问题3.将弦AB进行平移时，如图ABAB演示EAC=BC,(1)右图是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么？(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?(1)是轴对称图形,其对称轴是直线CD(2)AE=BE,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。AD=BD,已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦，CD⊥AB于E。即直径CD平分弦AB，并且平分AB及ACB︵︵验证⌒∴当圆沿着直径CD折叠时,A点和B点重合，AC、AD分别与BC、BD重合。⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒已知：在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。⌒⌒⌒⌒叠合法·OABCDE垂直于弦AB的直径CD所在的直线是⊙O的对称轴。证明：连结OA,OB∵CD⊥AB,OA=OB∴AE=BE∵⊙O关于直径CD对称AC=BC,AD=BD,∴∴点A和点B关于CD对称.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理:•垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。OEDCBA结论：注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可AC=BC,AD=BD进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。•即：如果CD过圆心，且AE=BE则CD⊥AB，AC=BC,AD=BD∵CD过圆心(CD为直径)，CD⊥AB，∴AE=BE，③AM=BM,由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,由①CD是直径③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得垂径定理：推论：OMDBACOMDBA如何应用垂径定理：例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．练习·OABEA解：OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：⊙O的半径为5cm.118422AEAB在Rt△AOE中如上图.若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm。EDCOAB1.下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是不是是不是OEDCAB注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO例2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BDOE就是弦心距2.⊙O的半径是10cm,弦AB的长是12cm，则AB的弦心距是______3.过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长8cm，那么⊙O的半径等于____，OM的长为_____4.如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AE=9，BE=1，求CD的长。·OCDABE5.已知⊙O的直径是20cm,⊙O的两条平行弦AB=12cm.CD=16cm,则它们之间的距离______.4.CDABO.CDABO②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦判断下列说法的正误⑦垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?37.4m7.2mABOCD经过圆心O作OC⊥AB于D，OC交AB于点D，连接AOR用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.218.7R-7.2∵∠ADO=90即R2=18.72+（R－7.2）2∴OA2=AD2+OD2解得：R≈27．9（m）例3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.4.已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON讲解圆的两条平行弦所夹的弧相等小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO2.垂径定理:AC=BC,AD=BD∵CD过圆心，CD⊥AB，∴AE=BE，(2).几何语言(1)垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。1.圆是_________,__________________是它的对称轴轴对称图形任何一条直径在的直线3.利用垂径定理时，常用辅助线是：(1)连半径或作弦心距构造直角三角形(2)作垂直于弦的直径通过这节课的学习，你有哪些收获？能与大家一起分享吗？丰收园判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的()②平分弦的直线必垂直弦()③垂直于弦的直径平分这条弦()④平分弦的直径垂直于这条弦()⑤弦的垂直平分线是圆的直径()⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦()⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧()OEDCBA进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。•即：如果CD过圆心，且AE=BE则CD⊥AB，AC=BC,AD=BD想一想：为什么规定弦AB不是直径？1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习解：OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：⊙O的半径为5cm.118422AEAB在Rt△AOE中2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。·OABE3.若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm。例2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BDACBDO2.⊙O的半径是10cm,弦AB的长是12cm，则AB的弦心距是______3.过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长8cm，那么⊙O的半径等于____，OM的长为_____EOE就是弦心距