反函数题型分析.

反函数1、反函数存在的判定:2、求反函数的步骤：3、反函数的定义域是原函数的值域；反函数的值域是原函数的定义域。4、反函数的图象与原函数的图象关于直线y=x对称。决定原函数的映射是一一映射(1)求原函数的值域；(2)反解出x;(3)互换x，y；(4)写出反函数(包括定义域)点(b,a)点(a,b)一.与反函数概念有关的题：例1.已知函数y=f(x)有反函数,则方程f(x)=0的根的情况是().A.有且仅有一实根B.至少有一实根C.至多有一实根D.0个,1个或1个以上实根.解:反函数确定的对应关系是一一对应,∴f(x)=0的根至多有1个,C例2.关于反函数有下列命题:(3)若函数y=f(x)与其反函数y=f－1(x)有公共点,则P点一定在直线y=x上;(1)二次函数一定有反函数;(2)反比例函数一定有反函数;(4)单调函数在其单调区间上一定有反函数.以上命题中,正确命题的序号是_______..)1(:2xy可举反例解.,,)()2,1()1,2()0(37)(21上但不在直线又在反函数的图象上图象上既在函数与点显然xyxfyxxxf.37)()3(xxf如函数(2)(4)113.,.23yxmynxmn例已知和互为反函数求和.2613122nmmn即.2221:myxmxy得由解122()2yxmyxmxR的反函数是2114.()1(1),(01)1(),()____2fxxxyfxf例已知函数的反函数为则,)1(1:2xy解法一221)1(yx211yx,10x又,01x,112yx12()11fxxx(01).231)21(11)21(21f31243)1(,21)1(1:22xx则令解法二231)21(1f,10x231231xx2114.()1(1),(01)1(),()____2fxxxyfxf例已知函数的反函数为则31221:1,.2yxx解在区间上具有单调性25.1(,),____yxxaa例若函数在区间上有反函数则的取值范围是.21a1(,]2二.反函数的求法如果原函数有反函数，求反函数可分三步：);(,,)()1(1yfxxyxfy求出表示用出发由);(,,)2(1xfyyx得互换将)()3(即原函数的值域指出反函数的定义域例1.函数的反函数是().21(10)yxx)01(1.2xxyA)01(1.2xxyB)10(1.2xxyC)10(1.2xxyDB直接法解法:1222221,1)01(1yxxyxxy得由,01x01y),01(12yyx.B应选).01(12xxy解法2:排除法),01(12xxy.01y可得.,,.01)01(12DCAxxxy由此可排除定义域和值域都是的反函数的据此可知函数212.(,)____.212xyxRxx例函数且的反函数是)21,(122.xRxxxyA且)21,(122.xRxxxyC且)2,(212.xRxxxyB且)2,(212.xRxxxyD且A2213.xyx例求函数)01()10(xx的反函数。2:01,1[1,0]1.xyxxy解当时的值域为解得)01(1)10(102xxyxxyx的反函数为函数yxxyx解出的值域为时当,1,0,012.,0舍去非负值x)10()01(2xxyxxy的反函数是函数)10()01(xxxxy124.45(,1).yxxx例求的反函数1)2(54:22xxxy解1)2(2yx12yx12yx1x,2,12)(1xxxf12)(1xxf}2|{yy原函数值域为220,2(1)1,,0xyxxxx时5.||2.yxxx例求函数的反函数22:0,2(1)1,0,xyxxxx解时222,(,0)()2,0,xxxfxxxx16.(1)2,(0),()fxxxxfx例若求)0(,1)(1xxxf)1(,1)(:2xxxf先求出解,1x0)(xf.)1()1(:1的反函数不是注意xfxf1()23,(1).fxxfx例7.已知求32)(:xxf解)3(21)(1xxf)4(21)1(1xxf18.()(),23(2).yfxfxyfx例已知函数的反函数是求的反函数122()3xyf故所求函数的反函数为)()(:1xfxfy的反函数是解32)2()2(32yxfxfy得由)32(21yfx即三.互为反函数的图象关于y=x对称的应用211.(),2,_____.axyfxyxxbab例若函数的图象关于直线对称则应满足的关系.)(:的反函数是它自身由已知可知解xfy)()(1xfxf即bxaxy212aybyx221axbxxf221)(1.2221212abaxbxbxax得由2ba232.()()1,(2)xfxgxyxxgx例设的图象与图象关于直线对称则为（）xA51.251.xB351.xC551.xD,)()(:对称的图象关于直线的图象与解xyxgxf.)()(的反函数是函数xfyxg.51)2(23)(xxgxxxg132)(xxxf又B1233.(),()1(1),(3).xfxygxxyfxyxg例设函数已知函数的图象与的图象关于直线对称求的值.)1()(:1的反函数是由题设知解法一xfxg)1(),1(11yfxxfy则它的反函数为设1)]1([)(1yyffxf而.1)()(:,1)(xfxgxfy故即1:,()(1).gxfx小结由对称关系等价于与互为反函数271)3()3(fg).2(23)(,132)(:1xxxxfxxxf得由解法二).1(14)1(1xxxxf.27,314xxx得令.27)3(g.)(),3(,)3(:的图象上在函数则点设解法三xgyaag27)3(g.)1()(1对称的图象关于直线与xyxfxg1(,3)(1).ayfx点在的图象上13(1),(3)1fafa637(3)11312af4.,(),,0,.yfxxy例设有三个函数第一个函数是它的反函数就是第二个函数而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线对称那么第三个函数是（）)(.xfyB)(.xfyA)(.1xfyC)(.1xfyD)(),(:),(:11xfyfyfxxfy得两边同取第三个函数为第二个函数为解法一B解法二:y=f(x)x=f(y)互换x,yy=－xx=－y－y=f(－x)即y=－f(－x)25.(),.xfxyxxaa例函数的图象关于直线对称则值是（）A.1B.－1C.2D.－2022,1,0aa即的图象上在函数点解)()0,2(:xf.)()2,0(的图象上也在点xfB26.(2002)[(1,)]1____xyxx例年全国函数图象与其反函数图的交点坐标为)1,1(),0,0(交点坐标为:2((1,))(2)12xxyxyxxx解法一的反函数为0332122xxxxxx可得由12120101xxyy或26.(2002)[(1,)]1____xyxx例年全国函数图象与其反函数图的交点坐标为:,,,,2[(1,)]1.yxyxxyxxyx解法二由反函数的意义和性质可知如果原函数为增函数则其图象与反函数图象关于直线对称两图象交点必在直线上因此题目所求可转化为图象与的交点.)],1([12的交点图象与因此题目所求可转化为xyxxxy110012:yxyxxyxxy或解得由解即交点为(0,0),(1,1)27.()(),()(1),(1),()_____.fxgxyxfxxxgx例已知函数与的图象关于直线对称且则的表达式为()1(0)gxxx即对称的图象关于直线与解xyxgxf)()(:.)()(互为反函数与xgxfyxyxxy1)0,1(,)1(2得由1()()1(0)fxfxxx的反函数