(全国通用版)2019高考数学二轮复习专题四立体几何与空间向量第3讲立体几何中的向量方法课件理

第3讲立体几何中的向量方法专题四立体几何与空间向量板块三专题突破核心考点[考情考向分析]以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.热点分类突破真题押题精练内容索引热点分类突破热点一利用向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则有(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.例1如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；证明(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.证明用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.思维升华跟踪演练1如图，在直三棱柱ADE—BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点.运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；证明(2)平面MDF⊥平面EFCD.证明热点二利用空间向量求空间角设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线夹角设l，m的夹角为θ0≤θ≤π2，则cosθ＝|a·b||a||b|＝|a1a2＋b1b2＋c1c2|a21＋b21＋c21a22＋b22＋c22.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤π2，则sinθ＝|a·μ||a||μ|＝|cos〈a，μ〉|.(3)二面角设α－a－β的平面角为θ(0≤θ≤π)，则|cosθ|＝|μ·v||μ||v|＝|cos〈μ，v〉|.例2(2018·泉州质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝PD＝4，∠BAD＝60°，∠ADP＝120°，点E为PA的中点.(1)求证：BE∥平面PCD；证明(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求直线BE与平面PAC所成角的正弦值.解答(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论.(2)求空间角注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cosα＝|cosβ|；②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角；③直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意函数名称的变化.思维升华跟踪演练2如图，在四面体ABCD中，BA＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°.(1)证明：BD⊥AC；证明(2)若∠ABD＝60°，BA＝2，四面体ABCD的体积为2，求二面角B－AC－D的余弦值.解答存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立.解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.热点三利用空间向量求解存在探索性问题证明例3(2018·滨海新区重点学校联考)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45°，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足＝0.(1)求证：DE∥平面PBC；CF→·BD→解答(2)求二面角F－PC－B的余弦值；63(3)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由.解答空间向量最适合解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解、是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.思维升华x，y跟踪演练3(2018·荆州质检)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1＝2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上一动点.(1)求证：当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；证明解答(2)设BQ→＝λBA1→，试问：是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为3010？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.真题押题精练1.(2017·北京)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；真题体验证明6(2)求二面角B—PD—A的大小；解答(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.解答解由题意知M－1，2，22，C(2,4,0)，MC→＝3，2，－22.设直线MC与平面BDP所成的角为α，则sinα＝|cos〈n，MC→〉|＝|n·MC→||n||MC→|＝269.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为269.2.(2018·全国Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；证明CDCD(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.解答押题预测押题依据利用空间向量求二面角全面考查了空间中的建系、求法向量、求角等知识，是高考的重点和热点.证明押题依据如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，DF＝2BE＝2，EF＝3.(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD；(2)若二面角A－EF－C是直二面角，求AE与平面ABCD所成角的正切值.解答