美赛常用模型一 - 副本.

美赛常用模型（一）本讲的主要内容初等模型复杂函数模型优化模型微分方程模型离散模型一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。这是最好的策略吗？试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。例1雨中行走1建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。主要影响因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度2）降雨大小用降雨强度厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。3）风速保持不变。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。h2模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高米，宽度米，厚度米。淋雨总量用升来记。`wdCIvD3模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。淋雨的面积)(222米wddhwhS雨中行走的时间)(秒vDt降雨强度)/()3600/01.0()/(01.0)/(smIII时米时厘米（升）米SIvDSItC3600/)/(10)(01.0)3600/(3模型中为变量。为参数，而vSID,,结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。。米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000SdwhID秒。分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。这是不可思议的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因：不考虑降雨的方向的假设，使问题过于简化。2）考虑降雨方向。vhwd人前进的方向若记雨滴下落速度为（米/秒）r雨滴的密度为雨滴下落的反方向1,pp表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。所以，rpI因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。•顶部的淋雨量)sin()/(1prwdvDC度。表示雨滴垂直下落的速表示顶部面积，表示在雨中行走的时间sin,/rwdvD•前表面淋雨量)]cos([)/(2vrpwhvDC•总淋雨量（基本模型）))cos(sin(21vrhdrvpwDCCC61039.1,/23600,/4pscmIsmr取参数)5.1cos6sin8.0(1095.64vvC可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定，如何选择使得最小。vC情形190)5.18.0(1095.64vC结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得升13.1103.1134mC情形260]/)334.0(5.1[1095.64vC结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得升47.1107.1434mC情形318090此时，雨滴将从后面向你身上落下。]5.1/)cos6sin8.0[(1095.64vC]5.1/))90cos(6)90sin(8.0[(1095.64vC]5.1/)sin6cos8.0[(1095.64vC能的。可能取负值，这是不可时，当C900出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。•当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即sinrv这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是vvrpwDh/)sin(淋雨总量为vvrhdrpwDC/)]sin(cos[。，则令90090取到最小值。时，当CrvsincossinwdprrDC再次代如数据，得)sin4/()cos8.0(1095.64C结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角从背后落下，你应该以12030的速度行走smv/230sin4此时，淋雨总量为升24.02/)2/38.0(1095.634mC这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。•当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即sinrv你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是vrvpwDh/)sin(淋雨总量为vrvhdrpwDC/)]sin(cos[]//)sincos[(rhvrdpwDrC才可能小。尽可能大，当Cvrd,0sincos才可能小。尽可能小，当Cvrd,0sincos，而sinrv，所以sinrv才可能小。C升。时，取77.06/)634.0(1095.630,/634mCsmv若雨是迎着你前进的方向向你落下,这时的策略很简单,应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下,你应控制你在雨中的行走速度,让它刚好等于落雨速度的水平分量。例二森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).•损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.•救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小.•关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论单位时间烧毁面积dB/dt(森林烧毁的速度).模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt与t成正比，系数(火势蔓延速度).2）t1tt2,降为-x(为队员的平均灭火速度).4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3.假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比.面积B与t2成正比dB/dt与t成正比xbtt12202)(tdtdtdBtB模型建立dtdBb0t1tt2x假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数——总费用)()()(21xfxfxC假设3）4）xttt112假设2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小231221122ctctcx结果解释•/是火势不继续蔓延的最少队员数dtdBb0t1t2tx其中c1,c2,c3,t1,,为已知参数模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,c2xc1,t1,xc3,x结果解释231221122ctctcxc1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为什么?,可设置一系列数值由模型决定队员数量x例三投资组合问题50万元基金用于投资三种股票A、B、C：A每股年期望收益5元(标准差2元)，目前市价20元；B每股年期望收益8元(标准差6元)，目前市价25元；C每股年期望收益10元(标准差10元)，目前市价30元；股票A、B收益的相关系数为5/24;股票A、C收益的相关系数为–0.5;股票B、C收益的相关系数为–0.25。如期望今年得到至少20%的投资回报，应如何投资？投资回报率与风险的关系如何？假设：1、基金不一定要用完（不用不计利息或贬值）2、风险通常用收益的方差或标准差衡量投资组合问题A、B、C每手(百股)的收益分别记为S1,S2和S3(百元)：ES1=5,ES2=8,ES3=10，DS1=4,DS2=36,DS3=100，r12=5/24,r13=-0.5，r23=-0.25121212131313232323cov(,)25cov(,)10cov(,)15SSrDSDSSSrDSDSSSrDSDS决策向量x1、x2和x3分别表示投资A、B、C的数量（国内股票通常以“一手”（100股）为最小单位出售，这里以100股为单位，期望收益以百元为单位）总收益S=x1S1+x2S2+x3S3：是一个随机变量投资组合问题总期望收益为Z1=ES=x1ES1+x2ES2+x3ES3=5x1+8x2+10x3投资风险（总收益的方差）为2112233112233112211332233222112233121213132323222123121323()()()()2cov(,)2cov(,)2cov(,)2cov(,)2cov(,)2cov(,)43610052030ZDxSxSxSDxSDxSDxSxSxSxSxSxSxSxDSxDSxDSxxSSxxSSxxSSxxxxxxxxx投资组合问题2222123121323min43610052030Zxxxxxxxxxs.t.5x1+8x2+10x3100020x1+25x2+30x35000x1，x2，x30解得x=1.0e+002*（1.3111，0.1529，0.2221）如果一定要整数解，可以四舍五入到（131，15，22）如利用LINGO软件,可得整数最优解(132，15，22)用去资金为13220+1525+2230=3675（百元）期望收益为1325+158+2210=1000（百元）风险(方差)为68116，标准差约为261（百元）例四男生追女生模型问题某男生A对于某女生B非常喜欢，但是刚开始的时候该女生对该男生并没有好感，该男生想采取一些行动来改变二者之间的关系，但是男女之间的过多接触势必会对学习成绩造成影响，试问该男生能否在保持学习成绩不下降的前提下追到该女生？要求建立适当的数学模型分析男生A的学习成绩与女生B对该男生的好感之间的关系，并对模型作出解释。模型假设1.A男生的学习成绩与B女生对于A男生的疏远度均为时间t的函数，分别设为Y(t)和X(t)。2.初始时刻X(t)是随着时间t增长的（B女生发现了A男生的一些缺点），假设增长符合Malthus模型，即：dX/dt=aX(t)其中a为增长率。3.随着A男生对B女生发动追求攻势后，A男生的学习成绩Y(t)呈现自然下降，假设也符合Malthus模型，即：dY/dt=-eY(t)其中e为增长率。4.当Y(t)存在时，单位时间内X(t)的减少值与X(t)成正比，比例系数为常数b。5.假定A男生对B女生发动追求攻势后，立即转化成B女生对A男生的好感，对学习有帮助，设转化系数为α。模型建立被食者-食者Volterra模型dY(t)(bX(t)e)Y(t)dtdX(t)(bY(t))X(t)dta这样就得到了一个在无外界干扰的条件下，学习成绩与疏远度相互作用的模型。这个模型在生物学中称为被食者和食者的Volterra模型。初始条件：00(0)(0)XxYy按照前面的假设列出Y(t)和X(