高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°．答案：（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）236°50′，第三象限；（4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x轴上的角的集合．答案：S={α|α=k·180°，k∈Z}．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k·360°，k∈Z}，－300°，60°；（2）{β|β=－75°＋k·360°，k∈Z}，－75°，285°；（3）{β|β=－824°30′＋k·360°，k∈Z}，－104°30′，255°30′；（4）{β|β=475°＋k·360°，k∈Z}，－245°，115°；（5）{β|β=90°＋k·360°，k∈Z}，－270°，90°；（6）{β|β=270°＋k·360°，k∈Z}，－90°，270°；（7）{β|β=180°＋k·360°，k∈Z}，－180°，180°；（8）{β|β=k·360°，k∈Z}，－360°，0°．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．答案：象限角度制弧度制一{β|k·360°＜β＜90°＋k·360°，k∈Z}{|22,}2kkkZ二{β|90°＋k·360°＜β＜180°＋k·360°，k∈Z}{|22,}2kkkZ三{β|180°＋k·360°＜β＜270°＋k·360°，k∈Z}3{|22,}2kkkZ四{β|270°＋k·360°＜β＜360°＋k·360°，k∈Z}3{|222,}2kkkZ说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．第一或第二象限角（2）已知α是第一象限角，那么2是（）、A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角答案：（1）C说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°．（2）D说明：因为k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，所以180451802kk，k∈Z．当k为奇数时，2是第三象限角；当k为偶数时，2是第一象限角．6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念．7、把下列各角度化成弧度：（1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5；（2）56；（3）7312；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度：（1）76；（2）103；（3）1.4；（4）23．答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算．9、要在半径OA=100cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为112cm，求圆心角∠AOB是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm）．答案：14cm．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S2，求S1与S2的比值；（2）要使S1与S2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2rSSr，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618SS（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4h（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了tmin会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度（2）设经过tmin分针就与时针重合，n为两针重合的次数．因为分针旋转的角速度为2(rad/min)6030，时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360，所以()230360tn，即72011tn．用计算机或计算器作出函数72011tn的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．nu115．981.8216．1047.317．1112.718．1178.219．1243.620．1309.121．1374.522．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min），所以720144011n≤，于是n≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad．如果大轮的转速为180r/min（转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是__________．答案：864°，245，151.2πcm．说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205由于大齿轮的转速为3r/s，所以小齿轮周上一点每1s转过的弧长是483210.5151.2(cm)20．P20习题1.2A组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173；（2）214；（3）236；（4）1500°．答案：（1）31sin,cos,tan322；（2）22sin,cos,tan122；（3）133sin,cos,tan223；（4）31sin,cos,tan322．说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P（3a，4a），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的三角函数值．答案：当a＞0时，434sin,cos,tan553；当a＜0时，434sin,cos,tan553．说明：根据定义求三角函数值．3、计算：（1）6sin（－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°；（2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantansincossin2446663；（4）2423sincostan323．答案：（1）－10；（2）15；（3）32；（4）94．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p2cos180°＋q2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos2sincossin22ababab；（4）13tan0cossincossin222mnpqr．答案：（1）0；（2）（p－q）2；（3）（a－b）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos23cos()444fxxxxx的值．（1）4x；（2）34x．答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题．6、确定下列三角函数值的符号：（1）sin186°；（2）tan505°；（3）sin7.6π；（4）23tan()4；（5）cos940°；（6）59cos()17．答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．7、确定下列式子的符号：（1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305；（3）5411sincostan456；（4）511costan662sin3．答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12；（2）15tan()4；（3）cos398°13′；（4）tan766°15′．答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值．9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ·tanθ＜0；（2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cosθ·tanθ＜0；（3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin0tan；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．综上所述，原命题成立．（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知3sin2，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；（2）已知5cos13，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；（3）已知3tan4，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,32；（2）1212,135；（3）当α为第二象限角时，34sin,cos55，当α为第四象限角时，34sin,cos55；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几