从一道中考题谈几何教学中的“基本图形”

1从一道中考题谈几何教学中的“基本图形”上海师范大学附属外国语中学苏有马许多同学在学习数学时都有一种感觉：数学知识越学越多，有时反而不知道用什么方法去解决了；或者有时遇到一个问题百思不得其解，一经别人点拨就立刻豁然开朗、茅塞顿开，才知如此简单。特别是对于进入初三的同学，这种感觉更是明显。有许多同学一遇到综合性题目就会“手忙脚乱”，不知从何下手，但经老师分析后，他也能很快予以解决。笔者认为，造成这种结果有主客观两方面原因。（一）客观方面数学题型多变，特别是几何图形千变万化，同一个知识点考核方法各不相同，好像捉摸不透；另一个客观原因是由于知识存储越来越多，有时无法很快做出选择，或犹豫不决、或几种方法纠缠不清，解题思路不清晰。（二）主观方面许多同学缺乏对知识进行必要的归纳总结，遇一题、解一题，“就题论题”，不能找到各个问题间的内在联系。当然最为重要的一个原因在于“心中无题，没有自信”，缺乏敏锐的观察力。不能从复杂的图形中分解出自己所熟知的基本题型和基本图形，各个击破，逐一解决也是许多同学的困难所在。总之，如何真正实现由“数学知识”向“数学能力”转化，才是数学教学的关键所在。如上海市2005年中考数学试卷最后一题：在△ABC中，∠ABC=900，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于F。（1）如图1，求证：△ADE∽△AEP；（2）设OA=x，AP=y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BF=1时，求线段AP的长。图1备用图此题题目较长，图形复杂，看似较难。但是如果我们将其分解成若干个基本题型或基本图形，逐一解决，就变得容易多了。而且大多数同学在平时的学习中对以下基本图形都已经相当熟悉了。基本图形（1）：直角三角形（勾股定理），在Rt△ABC中，∠ABC=90O，AB=4，BC=3，易得AC=5，即△ABC唯一确定。(1)ADOEPFBCABCABC2基本图形（2）：圆与切线（切线性质定理）半圆O与AD相切于点D，若连结OD（也必定要连接OD），则一定有OD⊥AD成立。(2)基本图形（3）：有一个公共角的两个相似三角形（相似三角形判定），已知有一对角相等，由等边对等角和等式性质，易得△ADE∽△AEP。(3)基本图形（4）：相似三角形三边对应关系（相似三角形性质定理），已知OA=x，需用x表示其它相关线段，显然，OD∥CB，,53,53xODxODCAOABCOD得即同理xAD54，易证第（2）问。当然也可以运用相似或锐角三角比（4）基本图形（5）：对顶直角三角形（有一对非直角的对顶角的两个直角三角形一定相似），易得△BPF∽△EPD，所以EDPEBFBPEDBFPEBP即,，由第（1）问得12DEPE，所以BP=2BF。可求第（3）问。(5)基本图形（6）：“平角上剪去一个直角”，因为∠PED=900，∠CEA=180，所以∠1+∠2=90O，∠2=∠APE=∠BPF，而∠BPF+∠F=900，由等角的余角相等得∠F=∠FEC，所以CF=CE，可求得AE，即求得x，由函数解析式从而得出y值（即AP的长）。(6)怎样才能从这样复杂的图形中找出这些“有用的”基本图形，是一个说起来简单，但做起来还是比较难的问题。所以说如何帮助同学在平时的学习中掌握科学的学习方法，培养学生对一些基本题型和基本图形的敏锐观察力（也就是借给学生一双“数学慧眼”）就显得尤为重要。笔者一直以来，在每学习一部分课本内容后都尝试以“专题讲座”的教学模式，引导学生自主探索，自我总结，自我提高。通过各个专题的学习，熟练掌握一些重要的基本图形和基本题型。学会从一个复杂的图形中找出它所包含的基本图形，并实现问题的合理转化和知识的正迁移。在研究过程中，学生能够掌握一些数学基本研究方法和数学思维模式。使学生感到“数学题目万变不离其宗”，自然会做到“脑中有题（图），心不慌”。下面以《圆与直角梯形专题》为例，介绍一下如何开展基本图形教学。一、基本图形的介绍基本图形1：以直角梯形的一条垂直于底边的腰为直径作半圆且与另一腰相切如图：已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠C=900，DC是⊙O的直径，且⊙O切AB于点E。观察此图，你可以得出哪些结论？（可添加辅助线）首先老师揭示图形特征“圆与直角梯形”（即研究对象），并结论开放。一方面锻炼学生的猜想能力，另一方面使学生掌握一些常见辅助线作法，而且自己发现的结论会更容易理解，更容易记忆。ABCODDEPFBADOEPEDAOADEPC21ADOCBEF12343学生踊跃发言，根据添加辅助线情况，可以得到以下五类结论：（一）不添线：（1）AD=AE（2）BE=BC（3）AB=AD+BC（二）连结OE：（4）OE⊥AB（∠OEA=900）（三）（连结OA、OB：（5）Rt△ADO≌Rt△AEO（6）Rt△BEO≌Rt△BCO（7）∠1=∠2，∠3=∠4（8）∠2+∠3=900（AO⊥BO）（9）Rt△ADO∽Rt△OCB（10）OD2=AD·BC（四）连结DE、CE：（11）DE⊥EC（∠DEC=900）（五）过点A作AF⊥BC，垂足为F：（12）AB2=AF2+BF2（其中AF=DC，BF=BC-AD）在整个研究过程中，完全任由学生的思维发散。让学生通过研究，发现一个看似简单的图形原来可以得出这么多的结论。没有发现的同学也会不自觉地接受了其他同学分析问题的方法和常见辅助线作法。如此以来，学生再一次看到满足此特征的基本图形就立刻能够得到以上相关结论。基本图形2：以直角梯形不垂直于底边的腰为直径作圆与另一腰相切。是将基本图形1稍作变动，学生经过探究同基本图形1一样可以得出四类结论。（一）连结OE：（1）OE⊥DC（2）OE∥AD∥BC（3）DE=EC（4）OE是梯形ABCD的中位线，即OE=21（AD+BC）（5）AB=2EO=AD+BE（二）连结AE、BE：（6）∠AEB=900（7）△ADE∽△ECB（8）DE2=AD·BC（三）连结OD、OE：（9）OE垂直平分线段DC（即OD=OC）（四）过点A作AF⊥BC，垂足为F：（10）AB2=AF2+BF2（其中AB=AD+BC，BF=BC-AD）当然，在这两个基本图形中又隐含了多个其它基本图形，一旦发现就可以实现基本图形间的整合和转化。二、基本图形比较不仅从相同的“圆与直角梯形”中找出不同点：条件不同点：基本图形1是以垂直于底边的腰为直径作圆；基本图形2则是以不垂直于底边的腰为直径作圆结论不同点：基本图形1中圆与两底相切，但基本图形2不成立；基本图形2中圆心与切点的连线是梯形的中位线，但基本图形1不成立又可以从不同的基本图形中找出相同之处：特征相同点：圆与直角梯形，都是以一腰为直径且与另一腰相切结论相同点：两个基本图形都有AB=AD+BC成立通过对两个基本图形进行对比研究，加强对基本图形特征的记忆和理解。三、基本图形的运用运用（一）：直接运用研究成果例１、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=900，以CD为直径的半圆O切AB于点E，这个梯形的面积为21CM2，周长为20CM，求半圆O的半径长分析：（1）从已知条件出发：20)(2212)(CDBCADCCDBCADS梯梯（2）从未知条件出发：求半径rADOCBEFADOCBEF4（3）找等量关系，列方程组20)(21)(rBCADrBCAD解得73rBCAD或37rBCAD（4）结论取舍：过点A作AF⊥BC，垂足为F，ABAF，即必须满足AD＋BC2r，所以求得r=3cm。运用（二）：从复杂图形中分解出基本图形例２、在矩形ABCD中，以AB为直径作半圆O，E是BC的中点，若DE是半圆O的切线，切点为F，试求ABAD的值。分析：四边形ABED是直角梯形，满足基本图形1，利用研究结论可以求解；或利用圆的切线长定理转化到DCERt中利用勾股定理可求ABAD的值。运用（三）：联系基本图形，代数与几何知识的综合运用例３、如图，已知直线MN和⊙O切于点C，AB是⊙O的直径，AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别为E、F，设AE=m，EF=p，BF=n（1）求证：p2=4mn（2）求证：EC、FC的长是方程02mnpxx的两个根分析：利用基本图形2，连接OC、AC、BC，可利用AEC∽CFB证明；也可以过点A作BFAG，在ABGRt中利用勾股定理证明。四、基本图形的再探索（一）改变条件：例４、在例3中，若将直线MN向上平移至与圆O相交时，m、n、p之间又有什么关系？分析：过O点作OC垂直于EF，垂足为C，rnmOP2，所以22)(4nmr因为222)()2(mnpr则222)()(nmmnp，可得mnp42（二）条件与结论互换：例５、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，且AD+BC=AB，求证：（1）CD与以AB为直径的圆相切；（2）AB与以CD为直径的圆相切。分析：紧密联系两个基本图形，利用逆向思维，根据圆的切线的判断定理准备条件可以得证。ABECDFOABFNECMOGABFNECMOGADCB