实二次型及其标准型

返回6.1实二次型及其标准形一、二次型及其矩阵二、合同变换三、用配方法化二次型为标准形四、用正交变换化二次型为标准形返回返回一、二次型及其矩阵ninjjiijnxxaxxxf1121),...,,(nnxxaxxaxa1121122111nnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa称为n元二次型.返回ninjjiijnxxaxxxf1121),...,,(若aij为实数，则称为实二次型.若aij为复数，则称为复二次型.,21222211121121,,jiijnnnnnnnaaaaaaaaaaaAxxxX设则f(x1,…,xn)=XTAX.AT=AA:二次型f(x1,…,xn)的矩阵.返回例1f(x1,x2,x3)=2x12–3x22+4x32-2x1x2+3x2x3AXXxxxxxxT32132142302331012),,(A:f(x1,x2,x3)的矩阵若令,430031012则有f(x1,x2,x3)=XTBX但BT≠B,故B不是f(x1,x2,x3)的矩阵返回ninjjiijnxxaxxxf1121),...,,(二次型也记为f(X)=XTAX.(AT=A)二次型f(X)的秩：A的秩.在例1中，f(x1,x2,x3)的矩阵42302331012AR(A)=3,故f(x1,x2,x3)的秩为3.返回二、合同变换1.矩阵合同定义对n阶矩阵A,B,若存在可逆矩阵C,使CTAC=B,则称A与B合同.矩阵合同具有以下性质：(1)反身性：矩阵A与自身合同；(2)对称性：若A与B合同，则B与A合同；(3)传递性：若A与B合同，且B与C合同,则A与C合同.返回A与B等价：PAQ=B,P,Q可逆；A与B相似：P-1AP=B,P可逆；请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？2.合同变换ninjjiijnxxaxxxf1121),...,,()1(22112222121212121111nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx(1)式称为从y1,…,yn到x1,…,xn的线性变换.返回令nnnnnncccccccccC212222111211nnyyyYxxxX2121,则(1)式可记为X=CY(2)若C为可逆矩阵，则(2)式称为可逆变换，若C为正交矩阵，则(2)式称为正交变换.当C可逆时，(2)式又可记为Y=C-1X(3)返回对于二次型f(X)=XTAX，若令X=CY(C可逆),则f(X)=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y.记B=CTAC,则BT=B,且f(X)=YTBY=g(Y).二次型f(X)与g(Y)的矩阵A与B合同.也称二次型f(X)与g(Y)合同.称X=CY(C可逆)为合同变换.返回三、用配方法化二次型为标准形只含平方项的二次型d1y12+d2y22+…+dryr2(di≠0)称为标准形.定理1任一实二次型f(X)=XTAX都可用配方法化为标准形.返回f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2x3+2x1x3=(x12+2x1x2+2x1x3)+2x22+3x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2+(x22+4x2x3)+2x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2-2x323332232112xyxxyxxxy令则f(x1,x2,x3)=y12+y22–2y32例2用配方法化二次型为标准形返回)1(2333223211xyxxyxxxy令即)2(2333223211yxyyxyyyx(1):从x1,x2,x3到y1,y2,y3的线性变换.(2):从y1,y2,y3到x1,x2,x3的线性变换.(1)与(2)所表达的x1,x2,x3与y1,y2,y3的关系是相同的.返回例3f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2x3令33212211yxyyxyyx则,f(x1,x2,x3)=2y12–2y22–4y1y3+8y2y3=2(y12–2y1y3)-2y22+8y2y3=2(y1–y3)2-2(y22-4y2y3)-2y32=2(y1–y3)2-2(y2-2y3)2+6y32=2z12–2z22+6z32返回上式最后一步使用的变换是333223112yzyyzyyz则,f=2z12–2z22+6z32=t12+t22-t32233211262ztztzt若再令返回将实二次型f(X)=XTAX经合同变换化为标准形后，将正项集中在前，负项集中在后：d1y12+…+dpyp2-dp+1yp+12-…-dryr2),,2,1(riydziii令得f(X)=XTAX的另一种形式为z12+…+zp2–zp+12-…-zr2称为规范形.返回定理2任何一个实二次型的规范形都是惟一的.p:正惯性指数；r-p:负正惯性指数；|r-2p|:符号差.z12+…+zp2–zp+12-…-zr2返回四、用正交变换化二次型为标准形定理3任一n元实二次型f(X)=XTAX都可用正交变换X=CY化为标准形1y12+2y22+…+nyn2其中1，2，…，n是A的特征值.证因A为n阶实对称矩阵，所以存在正交矩阵C,使CTAC=C-1AC=diag(1，2，…，n)令X=CY,则f(X)=YTCTACY=1y12+2y22+…+nyn2返回例4用正交变换化二次型为标准形f(x1,x2,x3)=x12-2x22-2x32-4x1x2+4x1x3+8x2x3解f(x1,x2,x3)的矩阵242422221A)()(||722424222212AI特征值：1=2（二重特征值），2=-7，返回求1=2的特征向量：4424422211AI000000221x1+2x2-2x3=0特征向量：1=(-2,1,0)T,2=(2,0,1)T将1,2正交化：1=1=(-2,1,0)T,T),,(542511111222β)β,(β)β,(ααβ返回求1=-7的特征向量：5424522282AI0001102101,213231xxxx3=(1,2,2)T,将1,2,3单位化：，T),,(||||012511111T),,(||||5424511222T)2,2,1(31||||1333返回32535032534513153252),,(321C令X=(x1,x2,x3)T,Y=(y1,y2,y3)T则X=CY为正交变换，且f=2y12+2y22-7y32