第五章 拉伸与压缩(一)

第五章轴向拉伸与压缩轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向变细。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。杆件的轴向拉伸和压缩是工程中常见的一种变形。如图a)所示的悬臂吊车，在载荷F作用下，AC杆受到A、C两端的拉力作用，如图b)所示，BC杆受到B、C两端的压力作用，如图c)所示。§5-1轴力与轴力图①反映出轴力与横截面位置变化关系，较直观；②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。二、轴力图N(x)的图象表示。轴力的正负规定:拉力为正，压力为负。N0NNN0NNNxP+一、轴力即杆的内力，用N表示。[例1]图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P和P的力，方向如图所示，试画出杆的轴力图。解：求OA段内力N1：设置截面如图，列平衡方程ABCDPAPBPCPDO0X10ABCDNPPPP04851PPPPNPN21ABCDPAPBPCPDN1x同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：N2=–3PN3=5PN4=P轴力图如右图BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP++–解：x坐标向右为正，坐标原点在自由端。取左侧x段为对象，内力N(x)为：qqLxO2021d)(kxxkxxNx2max21)(kLxN[例2]图示杆长为L，受分布力q=kx作用，方向如图，试画出杆的轴力图。Lq(x)NxO–22kLN(x)xq(x)§5-2拉压杆的应力与变形问题提出内力大小不能衡量构件强度的大小。强度：①内力在截面的分布集度应力；②材料承受荷载的能力。一、应力计算1.定义：由外力引起的内力集度，称为应力。PPPP工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。PAM①平均应力：②全应力（总应力）：APpMΔΔΔ0ΔdΔdlimAPPpAA2.应力的表示：③全应力分解为：pMANANAddΔΔlim0ΔATATAddΔΔlim0Δa.垂直于截面的应力称为“正应力”(NormalStress)；b.位于截面内的应力称为“剪应力”(ShearingStress)。变形前变形规律试验及平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。纵向纤维变形相同。abcd受载后PPd´a´c´b´二、拉（压）杆横截面上的应力均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。拉伸应力：AxN)(轴力引起的正应力——：在横截面上均布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。危险截面及最大工作应力：))()(max(maxxAxNN(x)P直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定的距离。公式的应用条件：[例3]已知一圆杆受拉力P=25kN，直径d=14mm，许用应力[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解：①轴力：N=P=25kNMPa1620140143102544232max..πdPAN②应力：③强度校核：170MPa162MPamax④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。[例4]简易旋臂式吊车如图a)所示。斜杆AB为横截面直径d＝20mm的钢材，载荷W=15kN。求当W移到A点时，斜杆AB横截面应力(两杆的自重不计)。解(1)受力分析当W移到A点时，斜杆AB受到的拉力最大，设其值为Fmax。取A点为分离体，在不计杆件自重及连接处的摩擦时，A点受力如图b)、c)所示。根据平衡方程ΣMC=0，解得由三角形ABC求出故有sinmaxWF388.09.18.08.0sin22ABBCkN7.38388.015sinmaxWF0sinmaxACWACF(2)求应力斜杆AB横截面正应力为36Nmax2638.71012310Pa123MPa20104FFAA[例5]已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径d=16mm，许用应力[]=170MPa。试校核钢拉杆的强度。钢拉杆8.5mqqABC解：①整体平衡求支反力kN519000.RmHXABA钢拉杆8.5mRARBHAqqAC③应力：④强度校核与结论：MPa170MPa131max此杆满足强度要求，是安全的。MPa1310160143103264d4232max...PAN②局部平衡求轴力：HCkN3.260NmCRAHARCHCNCqA设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。PPkk解：采用截面法由平衡方程：P=P则：APpA：斜截面面积；P：斜截面上内力。由几何关系：coscosAAAA代入上式，得：coscos0APAPp斜截面上全应力：cos0pPkkP三、拉（压）杆斜截面上的应力斜截面上全应力：cos0p分解：p20coscosp2sin2sincossin00p当=90°时，0)(min当=0,90°时，0||min当=0°时，)(0max(横截面上存在最大正应力)当=±45°时，2||0max(45°斜截面上剪应力最大)PPkkPkkpMPa7.632/4.1272/0max00127.4(1cos2)(1cos60)95.5MPa2200127.4sin2sin6055.2MPa22MPa4.1271014.310000420AP[例6]直径为d=1cm杆受拉力P=10kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：1、杆的纵向总变形：3、平均线应变：1LLLLL2、线应变：单位长度的线变形。四、变形及应变计算1LLLabcdxL4、x点处的纵向线应变：xxxdlim06、x点处的横向线应变：5、杆的横向变形：accaacacacPPd´a´c´b´xxdL1五、拉压杆的胡克定律PLLAPLNLLEAEA1、等内力拉压杆的弹性定律2、变内力拉压杆的弹性定律)(d)()d(xEAxxNx()d(d)()LLNxxLxEAx1niiiiiNLLEA内力在n段中分别为常量时EA称为杆的抗拉压刚度。PPN（x）xdxN(x)dxx1)()(1)d(ExAxNEdxx3、单向应力状态下的胡克定律E:即4、泊松比（或横向变形系数）:或关于弹性模量E：①由材料决定，表示材料抵抗变形的能力。②具有与应力相同的量纲，单位GPa。③在拉伸曲线上，其值为弹性阶段直线的斜率（tgɑ）。④EA表示杆件抵抗变形的能力。[例7]如图a)所示的阶梯杆，已知横截面面积AAB＝ABC＝400mm2，ACD＝200mm2，弹性模量E＝200GPa，受力情况为FP1＝30kN，FP2＝10kN，各段长度如图a)所示。试求杆的总变形。解(1)作轴力图杆的轴力图如图b)所示。(2)计算杆的变形应用胡克定律分别求出各段杆的变形杆的总变形等于各段变形之和计算结果为负，说明杆的总变形为缩短。本题也可以计算每个力引起的变形再叠加。即杆件的弹性变形符合叠加原理。mm0125.0CDBCABllllmm025.0m10025.01020010200101001010mm0125.0m100125.01040010200101001010mm025.0m10025.0104001020010100102036933N36933N36933NCDCDCDCDBCBCBCBCABABABABEAlFlEAlFlEAlFl