第五章 控制系统的稳定性分析-2

5.6对数稳定性判据(Bodestabilitycriterion)奈氏稳定判据应用开环奈氏曲线来判断闭环系统的稳定性，对数稳定性判据应用系统的开环伯德图判别闭环系统的稳定性。(1)奈氏图上的单位圆，在Bode图对数幅频特性图上对应零分贝线A(w)=1L(w)=20lgA(w)=0dB（2）奈氏图负实轴上的点对应Bode图相频特性曲线的-180°水平线。RewIm(-1,j0)(2)奈氏图上满足穿越的条件：A(w)1,180)(w当A(w)1时不称为穿越故开环伯德图上满足穿越的条件：在L(w)0dB时，相频穿过-180°线一次称其为一次穿越wwφ(w)°0.1-90°31210[-60][-20][-80]-270°-180°L(w)/dB[-60]60(+)(-)正负穿越wwφ(w)°0.1-90°31210[-60][-20][-80]-270°-180°L(w)/dB[-60]60正负半次穿越临界稳定点180)(w系统此时为临界稳定状态。若L(w)=0dB时相位曲线恰好通过三．应用开环Bode图判断系统稳定性充要条件：开环伯德图上，在L(w)0dB的所有段内，相频特性曲线在线上正负穿越次数之和（N=N++N-）满足Z=P+2N=0，则闭环系统稳定，否则系统不稳定。－负穿越：伯德图上幅频特性曲线在L(w)0dB段内，相频特性曲线穿过-180°线时角度逐渐增大（由下向上）为负穿越；正穿越：伯德图上幅频特性曲线在L(w)0dB段内，相频特性曲线穿过-180°线时角度逐渐减小（由上向下）为正穿越。判断系统是否稳定N+=1N-=-2N=N++N-=-1P=2Z=P+2N=0闭环系统稳定（开环系统不稳定）wwφ(w)°-90°[-20]-270°-180°L(w)/dB60P=2(+)(-))5.7控制系统的相对稳定性系统出现不稳定的因素：1.建模时忽略次要因素2.列写元件方程时采用线性化方法3.很难获得准确的系统参数（质量，阻尼，放大系数，时间常数）4.若采用实验法建模，则有仪器精度，数据处理等不准确性从奈氏曲线上可知，当P=0时,开环奈氏曲线离临界点越远，闭环稳定性越好，稳定裕量越大；反之越差。系统的稳定程度一般是通过奈氏曲线对临界点(-1,j0)的靠近程度来描述，用幅值裕量Kg和相位裕量γ来表示一.相位裕量γWg相位穿越频率：开环奈氏曲线与负实轴交点处的频率Wc幅值穿越频率：开环奈氏曲线与单位圆相交时的频率相位裕量γ：在幅值穿越频率ωc上，使系统达到不稳定边缘所需附加的相角滞后量)(180)180()(ccww为幅值穿越频率的相角)(cwγ越小稳定性越差，一般取30°～60°为宜。最小相位系统稳定时应有正的相位裕量RewIm(-1,j0)WcγWg1/Kgφ(wc)二．幅值裕量Kg幅值裕量Kg：在相位穿越频率Wg处，开环频率特性幅值的倒数．)(1)()(1ggggwAjwHjwGK可记为：在伯德图上以分贝值表示为：L(wg)=Kg(dB)=20lg(1/A(wg))=-20lgA(wg)RewIm(-1,j0)WcγWg1/Kgφ(wc)正相角裕量正幅值裕量wwφ(w)°-90°-270°-180°L(w)/dBWcwgγKg0正相角裕量正幅值裕量RewIm(-1,j0)Wcγwg1/Kgφ(wc)负相角裕量负幅值裕量负相角裕量负幅值裕量wwφ(w)°-90°-270°-180°L(w)/dBWcwgγKg0设系统控制系统如图所示，其中)5)(1()(sssKsG试求当增益K分别为K=10和K=100时系统的幅值裕量Kg和相位裕量γG(s)—+X0(s)Xi(s)解：开环传递函数)5)(1()()(sssKsHsG)151)(1(5)()(sssKsHsG标准形式22)2.0(115)(warctgarctgww2.090)(wL(w)/dBwφ(w)°0.1[-40]-90°156K=100[-60][-20]10-135°-180°26K=10-270°-225°WcWcWgγ=21ºKg=-10.5Kg=9.5γ=-30º1)(cwAK=104.161lg40ccww21)(180cw5.4261lg40ccww35)(180cwK=100180)(gw1802.090)(gggwarctgarctgww52.012.090902.0ggggggg)(lg20gwAKgK=1031)(gwA5.93lg20)(lg20gwAKg310)(gwA5.10)3lg1(20)(lg20gwAKgK=100系统开环对数幅频特性的中频段的宽度和斜率与系统的稳定性有密切的关系。根据伯德定理，若系统开环对数幅频特性的中频段的斜率为-20db/dec，则系统是稳定的；若系统开环对数幅频特性的中频段的斜率为-60db/dec，则系统是不稳定的；若系统开环对数幅频特性的中频段的斜率为-40db/dec，则系统可能是稳定的，也可能是不稳定的，即使稳定，其稳定裕度也较小。