第五章 控制系统的稳定性分析

第五章控制系统的稳定性分析5.1系统稳定性的基本概念5.2系统稳定的充要条件5.3代数稳定性判据5.4乃奎斯特稳定性判据(Nyquist判据)5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性5.6由伯德图判断系统的稳定性5.7控制系统的相对稳定性5.1系统稳定性的基本概念稳定的定义:如果一个系统受到扰动,偏离了原来的平衡状态,而当扰动取消后,经过充分长的时间,这个系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的状态,则称系统是稳定的.否则,称这个系统是不稳定的.实例说明系统的稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上.这样,在干扰消失的时刻,系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的初始偏差.因此,控制系统的稳定性也可以这样来定义:若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下,其过渡过程随着时间的推移,逐渐衰减并趋于零,具有恢复原平衡状态的性能,则称该系统为稳定;否则,称该系统为不稳定的.5.2系统稳定的充要条件设系统的微分方程为:)(...)()()(...)()(0)1(1)(0)1(1)(txbtxbtxbtxatxatximimmimononno)~0,);1~0(,mjbniaji式中：xi(t)—输入，xo(t)—输出为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零）)()...()()...(01110111sXbsbsbsbsXasasasimmmmOnnn+系数(取决于初始条件)011101110111...)()(......)(asasassXasasasbsbsbsbsXnnninnnmmmmO取决于初始条件系数)()()(21txtxtxooo上式右边第一项为对应与由输入引起的响应过程。第二项为对应于由初始状态引起的响应过程。)2()()(...)()(22110111221kkknkjnjnnnOsspsasasassX取决于初始条件系数取决于初始条件系数211222121)(nkkkkkkkkkknjjjsscsbpsatectebeatxkktnkkkktnkknjtpjokkkkj2121121sin1cos)(221时域表达式为：前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。)()()(21txtxtxooo011101110111...)()(......)(asasassXasasasbsbsbsbsXnnninnnmmmmO取决于初始条件系数tectebeatxkktnkkkktnkknjtpjokkkkj2121121sin1cos)(221时域表达式为：线性定常系统稳定的充分必要条件:系统特征方程式的根都具有负实部.系统特征根即闭环极点,故也可以说充要条件为:系统闭环传递函数极点全部在[s]平面的左半面.可见,线性系统的稳定性取决于系统的固有特征(结构、参数),与系统的输入信号无关.(1)如果特征方程中有一正实根,它所对应的指数项随时间单调增长;(2)如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根,它的对应项是发散的周期振荡;(3)上述两种情况下系统是不稳定的.(4)如果特征方程中有一个零根,它所对应于一个常数项,系统可在任何状态下平衡,称为随遇平衡状态;(5)如果特征方程中有一对共轭虚根,它对应于等幅的周期振荡,称为临界平衡状态(或临界稳定状态).稳定区不稳定区临界稳定mIeRS平面从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定.解系统特征方程的根:系统稳定的充要条件是系统特征方程的所有根,或闭环传递函数的所有极点均严格位于S平面的左半平面.阿贝耳定理:五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法(即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法).5.3代数稳定性判据代数判据法:根据特征方程的系数来判断特征方程根的实部符号,从而判定系统的稳定性,常用方法有Routh判据,赫尔维茨判据.几何图形的稳定性判据法:根据开环系统的乃氏图和Bode图来判断闭环系统的稳定性,常用的方法有Nyquist稳定判据,Bode判据.5.3.1劳斯稳定性判据(Routh判据)这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立.设系统特征方程为）（00021000110101110assssssaaasaasaasaasasasannnnnnnnns1,s2,…,sn为系统的特征根.(一)系统稳定性的必要条件展开得根与系数的关系:nsssaa2101nnssssssaa1312102nnnsssssssssaa1242132103nnnnssssssaa123210n1要使全部特征根均具有负实部,就必须满足以下两个必要条件:(1)特征方程的各项系数都不等于零;(2)特征方程的各项系数的符号都相同.要使全部特征根均具有负实部，必须满足：（1）特征方程的各项系数都不等于0，ai≠0(i=0，1，2，…，n)（2）特征方程各项系数ai的符号都相同。ai一般取正值，则上两条件简述为ai0——必要条件！根据这一原则,在判别系统的稳定性时,可首先检查系统特征方程的系数是否都为正数.假如有任何系数为负数或等于零(缺项),则系统就是不稳定的.假若特征方程的所有系数均为正数,并不能肯定系统是稳定的,还要做进一步的判别.因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要条件,而不是充分必要条件.(二)劳斯稳定性判据1.充要条件:如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正,则系统稳定.2.劳斯阵列表:10112124321343212753116420wsvsuusccccsbbbbsaaaasaaaasnnnn按此规律一直计算到n-1行为止.在上述计算过程中,为了简化数值运算,可将某一行中的各系数均乘一个正数,不会影响稳定性结论.直至其余bi项均为零.第一二行由特征方程的系数直接给出例5-1设控制系统的特征方程式为试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性.考察阵列表第一列系数的符号.假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数,则该系统是稳定的,即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面.假若第一列系数有负数,则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数.即:实部为正的特征根数＝劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数.0516178234sssss41175s38160s2155s140/30s05(2)列写劳斯阵列表如下劳斯阵列第一列中s系数符号全为正,所以控制系统稳定.(1)从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件.解:0516178234ssss例5-2设控制系统的特征方程式为03432234ssss试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性.2)排劳斯阵列解:1)从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件.s4133s324s213s1-2s03第一列系数改变符号2次,闭环系统的根中有2个实部为正,控制系统不稳定.对于特征方程阶次低(n≤3)的系统,劳斯判据可简化:二阶系统特征式为a0s2+a1s+a2劳斯表为s2a0a2s1a1s0a2故二阶系统稳定的充要条件是a00,a10,a20三阶系统特征式为a0s3+a1s2+a2s+a3劳斯表为故三阶系统稳定的充要条件是a00,a10,a30且a1a2a0a3s3a0a2s2a1a3s1s0a3例5-3设某反馈控制系统如下图所示,试计算使系统稳定的K值范围.解:系统闭环传递函数为KsssKsXsXiO21)()(特征方程为s3+3s2+2s+K=0根据三阶系统稳定的充要条件,可知使系统稳定须满足:故使系统稳定的K值范围为0K6两种特殊情况之一在劳斯阵列表的计算过程中,如果出现:(1)劳斯阵列表中某一行的第一个系数为零,其余各系数不为零(或没有其余项),这时可用一个很小的正数ε来代替这个零,从而使劳斯阵列表可以继续运算下去(否则下一行将出现∞).如果ε的上下两个系数均为正数,则说明系统特征方程有一对虚根,系统处于临界状态;如果ε的上下两个系数的符号不同,则说明这里有一个符号变化过程,则系统不稳定,不稳定根的个数由符号变化次数决定.例5-4:设某系统的特征方程式为s4+2s3+s2+2s+1=0试用劳斯判据判别系统的稳定性.2)排劳斯阵列解:1)从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件.符号改变2次,故有2个实部为正的特征根.s4111s322s20(ε)1s1s01解:劳斯阵列表为例5-5设某系统特征方程为s3+2s2+s+2=0试用劳斯判据判别系统的稳定性.s311s222s10(ε)s02由于ε的上下两个系数(2和2)符号相同,则说明无正实根,有一对虚根存在.两种特殊情况之二(2)若劳斯阵列表中某一行(设为第k行)的所有系数均为零,则说明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根.至少要下述几种情况之一出现,如:大小相等,符号相反的一对实根,或一对共轭虚根,或对称于虚轴的两对共轭复根.在这种情况下可做如下处理:a.利用第k-1行的系数构成辅助多项式,它的次数总是偶数的;b.求辅助多项式对s的导数,将其系数构成新行,代替第k行;c.继续计算劳斯阵列表;d.关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得.例如:)2)(25)(1(5025482422223451ssssssss)1)(1)(1)(1(442jsjsjsjss例5-6设某系统特征方程为s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0试用劳斯判据判别系统的稳定性.解:劳斯阵列表为s6182016s5212160s4168s30(4)0(12)0s238S14/3s08ssdsdAsssA12486)(324辅助多项式系统临界稳定，有两对共轭虚根为±j√2和±j2。5.3.2赫尔维兹稳定性判据若系统特征方程式为a0sn＋a1sn-1＋…＋an-1s＋an=0a00nnnaaaaaaaaaaaaaaa21420531420531000nn行列式为：系统稳定的充要条件:主行列式△n及对角线上各子行列式△1,△2…△n-1均0,即:011a……有时称主行列式△n为赫尔维兹行列式.可以证明劳斯判据和赫尔维茨判据是等价的,即11a13021121aaaaab3021504113021330215133041321231aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaac341d例5-7:设控制系统的特征方程式为s4+8s3+17s2+16s+5=0试用赫尔维兹判据判断系统的稳定性.解:由方程系数可知满足稳定的必要条件.各系数排成行列式及各阶子行列式△40故该系统稳定.5.4乃奎斯特稳定性判据劳斯稳定性判据的不足:•必须知道系统的闭环传递函数•定性——不能从量上判断系统的稳定程度•对含有延迟环节的系统无效•不能对改善系统稳定性给出提示Nyquist及Bode稳定性判据——几何判据根据开环频率特性判断闭环稳定性5.4.1映射定理线性系统传递函数的一般形式:jnjimipszsKsF11)(映射定理表达的是s平面上一条封闭曲线,经过F(s)的映射,在F平面上所具有的特性.即s→F(s).辐角定理:对于一个复变函数式中zi(i=1,2,…,m)为F(s)的零点,pj(j=1,2,…,n)为F(s)的极点.[柯西辐角原理]:S平面上不通过F