第五章 插值与拟合

5.1插值的基本概念插值问题的背景在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算,或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值)，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的近似函数(x)，来逼近函数f(x)。常用的函数逼近方法有：►插值法；►最小二乘法（或称均方逼近）；►一致逼近等。插值法插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用。简单地说，插值法就是用给定的(未知)函数f(x)的若干点上的函数值(或其导数值)来构造f(x)的近似函数(x)，要求(x)与f(x)在给定点的函数值相等。有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermite插值，分段插值和样条插值。函数可以未知，只需已知若干点上的值。设f(x)为[a，b]上的函数，在互异点x0,x1,...,xn处的函数值分别为f(x0),f(x1),…,f(xn),构造一个简单函数(x)作为函数f(x)的近似表达式y=f(x)(x),使(xi)＝f(xi),i＝0,1,2,…,n(5.0)则称(x)为关于节点x0,x1,...,xn的插值函数；称x0,x1,...,xn为插值节点；称(xi,f(xi)),i=1,2,…,n为插值点；f(x)称为被插值函数。(5.0)式称为插值条件。这类问题称为插值问题。构造出(x)，对f(x)在[a,b]上函数值的计算，就转化为(x)在对应点上的算。插值法的定义5.2Lagrange插值选用代数多项式作为插值函数。Lagrange插值就是选用节点上的函数值作为插值条件。5.2.1线性插值给定两个点(x0，y0)，(x1，y1），x0≠x1，确定一个一次多项式插值函数，简称线性插值。待定系数法设L1(x)=a0+a1x,代入插值点当x0≠x1时，方程组的解存在唯一。01000111aaxyaaxy即插值条件：L1(xi)=f(xi)=yi,i=0,1解之得，因此，（5.1）式称为一次Lagrange插值。由求解过程知，用待定系数法，需要求解线性方程组，当已知节点较多时，即方程的未知数多，计算量较大，不便向高阶插值推广。011001010101,.xyxyyyaaxxxx0110011010101010110()(5.1)xyxyyyLxxxxxxxxxxyyxxxx　　　　　　　插值基函数法分别构造两个节点上的一次函数，使其在本节点上的函数值为1，而在其他节点上的函数值为0。设l0(x),l1(x)分别为满足上述条件的一次函数，即或简单地记为对于过两个节点x0,x1的线性插值（5.1），令00100111()1,()0()0,()1lxlxlxlx　　　1,,()0,.ijijijlxij　　　　　　01010110(),(),xxxxlxlxxxxx显然，l0(x),l1(x)满足：线性插值函数可以写成节点上函数值的线性组合，即L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1．称l0(x),l1(x)分别为x0,x1的插值基函数。线性插值误差定理1设L1(x)为一次Lagrange插值函数,若f(x)一阶连续可导，f“(x)在(a,b)上存在，则对任意给定的x∈(a,b),至少存在一点ζ∈(a,b),使得证明因为L(xi)=f(xi),i=0,1,所以，R1(x0)=R1(x1)=0,即x0,x1为R1(x)的两个根。因此，可设R1(x)为(),,0,1.ijijlxij　易知满足插值条件：L1(xi)=yi,i=0,11101()()()()()()(5.3)2!fRxfxLxxxxx　　　　可设R1(x)=k(x)(x-x0)(x-x1).固定任一x，作辅助函数，令则Ψ(xi)=0,i=1,2,Ψ(x)=0,即Ψ(t)有3个零点x0,x1,x。假定，x0xx1,分别在[x0，x]和[x，x1]上应用洛尔（Rolle）定理，可知，Ψ′(t)在每个区间上至少存在一个零点，ζ1，ζ2，使Ψ′(ζ1)=0，Ψ′(ζ2)=0(此即Ψ′(t)有2个零点)。再利用洛尔定理知，Ψ′(t)在[ζ1,ζ2]上至少有一个零点ζ，使Ψ″(ζ)=0。对Ψ(t)求2阶导数得，Ψ″(t)=f″(t)-2!k(x),因为Ψ″(ζ)=0，所以，有k(x)=f″(ζ)/2!。证毕。101()()()()()(),tftLtkxtxtx5.2.2二次插值给定3个互异插值点(xi,f(xi)),i=0,1,2，确定一个二次插值多项式函数，即抛物线插值（如图）。待定系数法设L2(x)=a0+a1x+a2x2,代入3个插值条件：L2(xi)=f(xi)),i=0,1,2，解线形方程组可得a0,a1,a2。插值基函数法构造3个节点上2次插值基函数l0(x),l1(x),l2(x),使满足li(xj)=δij，i,j=0,1,2。因为l0(x)为2次插值基函数,且l0(x1)=l0(x2)=0,所以可设l0(x)=A(x-x1)(x-x2)。由条件：l0(x0)=1，得同理可得，二次Lagrange插值多项式为01021,()()Axxxx1200102()()().()()xxxxlxxxxx02011210122021()()()()(),().()()()()xxxxxxxxlxlxxxxxxxxx　　220011220()()()()()()()()()(5.4)iiiLxlxfxlxfxlxfxlxfx　　容易验证满足插值条件二次插值的误差22012()()()()()()()(5.5)3!fRxfxLxxxxxxx　　定理设L2(x)为二次Lagrange插值函数,若f(x)∈C3[a，b]，则任给x∈(a,b),至少存在一点ζ=ζ(x)∈(a,b),使提示：因为R2(x0)=R2(x1)=R2(x2)=0,可设作辅助函数易知，x0,x1,x2,x为Ψ(t)的4个零点，在4个点两两组成的区间上，应用Rolle定理，然后再反复应用Rolle定理即得证。2012()()()()().Rxkxxxxxxx2012()()()()()()(),tftLtkxtxtxtx例5.1给定sin11°=0.190809,sin12°=0.207912,求线性插值，并计算sin11°30'和sin10°30'。解x0=11°,x1=12°,y0=0.190809,y1=0.207912，sin11°30'≈L1(11.5)=0.199361,sin10°30'≈L1(10.5)=0.182258.由定理1知，误差为10101(12)(11)()(12)(11).11121211xxLxyyxyxy准确值为：sin11°30’=0.199368sin10°30’=0.182236101()sin()()()()(11)(12).2!2fRxxxxxxx11()(11)(12)21(11.511)(11.512)0.125.2Rxxx　　　　　　01111211.522xxx例5.2给定sin11°=0.190809,sin12°=0.207912,sin13°=0.224951,构造二次插值，并计算sin11°30′。解x0=11,x1=12,x2=13,y0=0.190809,y1=0.207912,y2=0.224951，sin11°30′≈L2(11.5)=0.199369,sin11°30′=0.199368.2(12)(13)(11)(13)()0.1908090.207912(1112)(1113)(1211)(1213)(11)(12)0.224951(1312)(1312)xxxxLxxx　　　例5.3要制作三角函数sinx的值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试确定其最大允许的步长。解f(x)=sinx,设xi－１,xi为任意两个插值节点，最大允许步长记为h=hi=xi－xi－１，111111121124()sin()()()()()2!211()()()()22221()(),88110,0.02.82iiiiiiiiiiiiiiiifRxxxxxxxxxxxxxxxxxxxhxxxxhh　　　　　　　　　　　　5.2.3n次Lagrange插值多项式已知n+1个互异插值节点(xi,f(xi)),i=0,1,2,…,n,研究n次插值多项式的存在性及其表示形式。★存在性设n次多项式为代入插值点，即插值条件：Pn(xi)=f(xi),i=0,1,2,…,n,得其范德蒙德(Vandermonde)行列式为：20121(),(5.6)nnnPxaaxaxax　　　　20102000201121112012()()(5.6)()nnnnnnnnnnaaxaxaxfxaaxaxaxfxaaxaxaxfx　　　　　所以，(5.6)的解存在唯一。解出(5.6)的解a0,a1,…,an，代入(5.6)1即得n次插值多项式Pn(x)。★n次插值多项式的构造有上面的讨论知，用待定系数法要求解一个线性方程组，计算量大，实际中不可取。20002111012011(,,,)1()0,nnnnnnnijjinxxxxxxVxxxxxxxx　　　　　　　插值基函数法分别构造x0,x1,…,xn上的n次插值基函数l0(x),l1(x),…,ln(x),满足性质：即1,0,1,2,,()0ijijijnlxij　　　　，节点基函数x0x1x2…xnl0(x)100…0l1(x)010…0l2(x)001…0………………ln(x)000…1先构造l0(x)。有上表知，x1,x2,…,xn为l0(x)的零点，设由l0(x0)=1，得同理可设由li(xi)=1，得0012()()()(),nlxaxxxxxx001020120010201,()()()()()()().()()()nnnaxxxxxxxxxxxxlxxxxxxx　　011()()()()(),iiiinlxaxxxxxxxx1111,()()()()iiiiiinaxxxxxxxx　　于是，所以我们得到n次Lagrange插值多项式：容易验证，Ln(xi)=f(xi),i=0,1,2,…,n.0110111()()()()()()()()(),1,2,,(5.7)iiniiiiiinnjijjjixxxxxxxxlxxxxxxxxxxxinxx　　　　　　　　　　　　　00110()()()()()()()()()(5.8)nnnniiiLxlxfxlxfxlxfxlxfx　　　　　　　　　　　　　　　　例5.4已知插值点(-2.00,17.00),(0.00,1.00),(1.00,2.00),(2.00,17.00),求三次插值，并计算f(0.6)。解先计算4个节点上的基函数：1230010203()()()()()()()(0)(1.00)(2.00)(2.000)(2.001.00)(2.002.00)1(1)(2),24xxxxxxlxxxxxxxxxxxxx　　　　　　　0231101213()()()1()(2)(1)(2),()()()4xxxxxxlxxxxxxxxxx　0132202123()()()1()(2)(2),()()