换元法与分部积分法

目录上页下页返回结束二、定积分的分部积分法第三节不定积分一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法第五章目录上页下页返回结束一、定积分的换元法定理1.设函数单值函数满足:1),],[)(1Ct2)在],[上;)(,)(ba)(t)(t证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则)()(aFbF)]([F)]([F)(t)(t)(t)(t)(t则目录上页下页返回结束说明:1)当,即区间换为，时],[定理1仍成立.2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即))((tx令xxfbad)(或配元)(t)(dt配元不换限)(t)(t)(t)(t)(t)(t目录上页下页返回结束例1.计算解:令,sintax则,dcosdttax;0,0tx时当.,2πtax时∴原式=2attad)2cos1(22π02)2sin21(22tta02π2π0ttdcos2O22xayxya且目录上页下页返回结束例2.计算解:令,12xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t∴原式=ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt13;1t且目录上页下页返回结束例3.证:(1)若aaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)((2)若0d)(aaxxf则xxfad)(0xxfad)(0ttfad)(0xxfad)(0xxfxfad])()([0时)()(xfxf时)()(xfxf偶倍奇零tx令目录上页下页返回结束例4.设f(x)是连续的周期函数,周期为T,证明：解:(1)记01sin2dπnIxx,d)()(xxfaTaa)()()(afTafa0无关，与可见aa)(),0()(a因此并由此计算则即目录上页下页返回结束(2)xxfnTaad)(xxnd2sin10并由此计算周期的周期函数xxnd2sin10xxnd2sin10则有目录上页下页返回结束xxnxxnd2sin1d2sin100xxxnd)sin(cos02xxxndsincos0xxnd)sin(2044xt令ttndsin2454ttndsin20ttndsin20n22目录上页下页返回结束二、定积分的分部积分法定理2.,],[)(,)(1baCxvxu设则ab证:)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在],[ba目录上页下页返回结束例5.计算解:原式=xxarcsin021210xxxd1212π)1(d)1(212022121xx12π21)1(2x02112π231目录上页下页返回结束2π0dcosttn2π0dcosxxn例6.证明证:令,2π2143231nnnnn为偶数n为奇数,2πxt则2π0dsinxxn02π2πd)(sinttn令则,cossin)1(2xxnunxvcos]sincos[1xxInn02π2π022dcossin)1(xxxnn0目录上页下页返回结束2π022dcossin)1(xxxnInn2π022d)sin1(sin)1(xxxnn2)1(nIn由此得递推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I2π0dx,2π2π01dsinxxI1故所证结论成立.0I1I22mI2232mm42mI214312mI1222mm32mI3254目录上页下页返回结束内容小结基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习1.提示:令,txu________d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100u100sinx100sin目录上页下页返回结束2.设解法1.)(3xf解法2.对已知等式两边求导,思考:若改题为提示:两边求导,得得目录上页下页返回结束3.设求解:(分部积分)目录上页下页返回结束作业P2531(4),(10),(16),(24);3;7(4),(9),(10)习题课目录上页下页返回结束备用题1.证明证：是以为周期的函数.πtu令是以为周期的周期函数.目录上页下页返回结束证：2.右端,],[)(上有连续的二阶导数在设baxf)(af且试证baxfbxax)(d))((21abxfbxax)())((21xbaxxfbad)2)((21分部积分再次分部积分xxfbad)(abxfbax)()2(21=左端,0)(bf