换元积分法

——一元微积分学高等数学（文）换元积分法不定积分的计算利用不定积分的性质换元法(第一、第二)分部积分法有理函数积分法(1)不定积分的第一换元法:公式首先看复合函数的导数)(),(上的可构成区间设可微函数IxuuFy),())(()))(((xxFxF)),((则可微的复合函数xFy它的微分形式为xxxFxFd)())(()))((d(),()(则记ufuF,d)(d)())(()))((d(uufxxxfxF看出点什么东西没有?原函数?被积表达式?也是被积表达式?定理,)()(上的一个原函数在区间是设IufuF则有：均连续,)(',)(),(xxuf.))(()(d)(d)())((CxFCuFuufxxxf该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。sin2xdx11sin2sin222xdxxdx21sin2xuudu令1cos2uC1cos22Cx2sin22sincosxdxxxdx2sinsinxdxsin2xuudu令22sinuCxC例1解.dcossin3xxx求,dcosd,sin故则令xxuxuuuxxxddcossin33Cu441C4sin4123sincosxxdx23sincosxxdx例222sincoscosxxxdx22sin1ssininxxdxsin22241xuuuduuudu令351135uuC3511sinsin35xxC被积函数出现正弦、余弦乘积时，拆开奇次幂凑微分221xdx2232412144123xdxxxdxxxxC21212xuudu令33112166uCxC22122121221xxdxdx.162dxxx求2636213113113uduxdxdxxxxu.arcsin313Cx例3解21xxdx例422211112xxdxxdx2331222112112233xuuduuCxC22221xdxxx22222212122212121xxdxxxdxdxxxxxxxCxfxxfxf|)(|lnd)()(:一般有2212lnln21xxuduuCxxCucossincotlnsinsinsinxdxxdxdxxCxxsincostanlncoscoscosxdxxdxdxxCxx例5解.dsecxx求(tansec)secsecddtansecxxxxxxxxxxxxxdsectan)sec(tan.|sectan|lnCxx例6解.lndxxx求于是则令,1d,lnxuxuCuuuxxx||lndlnd.|ln|lnCx.)ln(d)(d)(ln:xuuufxxxf一般公式例7解.d22xax计算，故，则令xxuxud2d2xxaxaaxaxd)11(21d22.||ln21CxaxaaCxxCuuuuxxxxxxxx1sin1sinln2111ln211dsin1dcoscosdcosdsec222则有此题若按下面方式做，.dsecxx求例8解.cosd4xx计算,cosddtan2于是，则令xxuxuxxxxxxxxdcos1secdcos1cos1cosd22224xxx22cosd)tan1(.tan31tan3133CxxCuuuud)1(2(2)不定积分的第二换元法d)(d)())((是被积表达式第一换元法：uufxxxf常遇到的是一般形。而在实际问题中，常已明显含有因子)(x。，而不能分出因子式的积分：)(d)(xxxf将积分转化：及反函数的导数公式，这时我们利用复合函数ttgtttfd)(d)())((xxfd)()(tx令CtF)(容易积出：定理上在区间，、、设函数*)()()(')()(ItxICxxxf存在且可导，)()())((*，则上有原函数在区间若tFIttf上有在区间I,))((d)(1CxFxxf是积分常数。的反函数；是其中，)()(1Ctx证存在，存在定理可知：由定理的条件及反函数)(1xt上单调增加、可微。且在I导法则，有由复合函数及反函数求))(())(()))(((111xxFxF)(1)(ttF)(1)())((tttf))((tf.)(xf)())((1上的一个原函数，故在是即IxfxF.))((d)(1CxFxxf例8解).0(d22aaxx计算算。现在采用第二换元法计22dsecdtan2，故－，，则令tttaxtaxtattaaxxsecdsecd222ttdsec1|tansec|lnCtt)ln(.||ln122aCCCaxx22axxat的表达式的积分，、一般说来，含有2222axxa。来代替原变量的三角函数或双曲函数可用新变量xt通过这种代换将根式积分化为三角有理式积分.22xa2,2,sinttax22xa2,2,tanttax22ax2,0,secttax被积函数中含有根式相应的三角代换例9解.)0(d22axxa计算故则令,dcosd,22,sinttaxttaxdcosdcoscosd2222ttattataxxattad22cos12Ctta)2sin21(22.2arcsin2222Cxaxaxaxat22xa例10解.)0()(d322axax计算,dcosd,22,sin故则令ttaxttaxttaxax22322cosd1)(dCtatan12.222Cxaaxxat22xa.22dxxax令,sectax则原式tdtadtttadtttatata2222tancossincossinsectandttdtadtta22sec)1(secCattadttdatantan.arccos22Cxaax例11解例12解.)1(d24xxx计算),0,0(,dd,12故则令txttxtx1d)1(d2424tttxxxtttd11)1(24d)111(22tttCtttarctan33.1arctan1313Cxxx积分经常有效：“倒代换”法对于下列)(d2cbxaxnmxx)1(tnmx令的好方法。倒代换法是一个去分母例13解.1dxx计算d2d，故，则令ttxxttttxx1d21dtttd1112ttd)111(2Ctt)|1|ln(2.)1ln(22Cxx31(1)dxxx6623311(1)(1)xtdxdtttxx5223266(1)(1)ttdtdtttt222111661(1)(1)tdtdttt66arctanttC6666arctanxxC