第十六讲定积分与微积分基本定理

第十六讲定积分与微积分基本定理走进高考第一关基础关教材回归1.定积分的定义如果函数f(x)在区间[a,b]上________,当n→∞时,和式无限接近________,________叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作________,即________,a,b分别叫做________与________,区间[a,b]叫做________,函数f(x)叫做________,____x____叫做积分变量,_f(x)dx_______叫做被积式.1niibafn1lim()niibafnn连续某个常数这个常数()bafxdxfxdx积分下限积分上限积分区间被积函数对定义的几点说明:(1)定积分是一个常数.(2)用定义求定积分的一般方法是:①__分割______:n等分区间;②________:取点ξ_i∈[x_i-1,x_i];③________:④________:1()5;niibafn1()().aibnibafxdxlimfnbafxdx近似代替求和取极限(3)定积分的几何意义:如果f(x)在上连续且恒有f(x)≥0,那么定积分表示__________________________________________________________________________________.(4)定积分的性质①=________(k为常数);=______________;③=___________________(其中acb).()bafxdx()bakfxdx[()]baff12xxdxbafxdx,(),xaxbaby0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积()bakfxdx12()()bbaafxdxfxdx()()cbacfxdxfxdx区间叠加注意:(1)定积分的性质,其含义有两层,如性质②.若定积分存在,则定积分存在且(2)定积分性质②可推广到任意有限个函数的情况.,bbaafxdxgxdx[()]bafxgxdx[()].bbbaaafxgxdxbfxdxgxdx2微积分基本定理.一般地,如果f(x)在区间上连续,且F′(x)=f(x),=________.这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.也可表示为=________.()bafxdx()bafxdx()()FbFa()bFxa注意:(1)①用定义求定积分的方法:分割､近似代替､求和､取极限,要借助于求曲边梯形的面积､变力作功等案例,体会定积分的基本思想方法.②用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数的原函数,利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).③利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简,再积分.④利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限.(2)几种典型的曲边梯形面积的计算方法:①由三条直线x=a、x=b(ab)、x轴,一条曲线y=f(x)[f(x)≥0]围成的曲边梯形的面积:(如图).basfxdx②由三条直线x=a、x=b(ab)、x轴,一条曲线y=f(x)[f(x)≤0]围成的曲边梯形的面积:(如图).|()|()()bbaaSfxdxfxdx(3)由两条直线x=a、x=b(ab)、两条曲线y=f(x)､y=g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积:(如图).[()()]baSfxgxdx考点陪练1.下列等式成立的个数是()A.0B.1C.2D.31()();nbiaibafxdxfnlim()();bniabafxdxfn1()).¦(inbianbafxdxmilfnlim解析:本题仅③正确.答案:B评析:本题考查定积分的定义.2.下列值等于1的积分是()A.B.C.D.解析:而其他选项的值都不是1.答案:C10xdx10(1)xdx101dx1012dx11001|101dxx3.的值是()A.0B.C.2D.4答案:C22()sinxcosxdx44.已知自由落体的速度为v=gt,则落体从t=0到t=t_0所走过的路程为()A.B.C.D.解析:答案:C2013gt20gt2012gt2014gt0022000115|.22ttSgtdtgtgt5.曲线与坐标轴围成的图形的面积是()A.2B.3C.D.4解析:答案:B3(02ycosxx52220033|3.Scosxdxsinx解读高考第二关热点关类型一:求定积分解题准备:定积分的概念是微积分的基本概念之一,也是用积分解决实际问题的基本方法.它主要包括:分割､近似代替､求和､取极限四环节,其中关键环节是求和,定积分定义体现的是先分后合,化曲为直.此外,在计算定积分时还要很好地理解“和式的极限”的含义.典例1.求下列定积分:(1)(2)(3)[分析]先由定积分的性质将其分解成简单的定积分,再利用牛顿—莱布尼兹公式求解.212(21);xxdx2211();xxdxxdxexx)(cos0类型二:定积分的几何意义解题准备:求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤.(1)画出图形;(2)确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标,定出积分的上、下限;(3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上\,下位置;(4)写出平面图形面积的定积分的表达式;(5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.[探究]一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度(1)紧急刹车多久车停住;(2)紧急刹车后火车的路程.26()10()1.:/vttmst紧急刹车至停止求[答]12s后火车停止,此时行驶115m.[评析]本题求变速运动的路程s,其本质是速度函数在某区间上的定积分.类型三:定积分的综合应用解题准备:利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:①画出图形;②确定被积函数;③确定积分的上､下限,并求出交点坐标;④运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.典例3.已知二次函数满足f(0)=f(1)=0,且f(x)的最小值是(1)求f(x)的解析式;2(),fxaxbxc1.4(2)设直线其中为常数,若直线l与f(x)的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S_1(t),直线l与f(x)的图象所围成封闭图形的面积是S_2(t),设当g(t)取最小值时,求t的值.2:(lytt10,2tt121()()(),2gtStSt(3)已知m≥0,n≥0,求证211:()().24mnmmmnnmn[评析]本题考查导数,定积分,函数性质,不等式等知识,考查对知识点的综合运用能力.笑对高考第三关成熟关名师纠错误区:定积分几何意义不明致误典例已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l_1:y=-t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数);l_2:x=2.若直线l_1,l_2与函数f(x)的图象以及l_1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如右图的阴影所示.(1)求a,b,c的值;(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式.[剖析]用定积分表达阴影面积时,用错定积分的几何意义.如把阴影面积写成,就出现了面积为负值的结果等.222220()[(8)(8)][(8)(8)]ttStxxttdxttxxdxx2变式:两曲线x-y=0,y=x2-2x所围成的图形的面积是________.快速解题典例.求函数y=cosx与直线及x轴所围成图形的面积.[错解][错解分析]求四条曲线所围成的图形的面积,要数形结合,画出图形来分段求面积,特别当f(x)0时,围成的面积应是积分值的相反数.30,4xx33440032|0.42Scosxdxsinxsinsin解题策略定积分求面积三技巧1.灵活选用积分变量典例1如下图,求直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成图形的面积.[分析]从图形上可以看出,所求图形的面积可以转化为梯形与曲边梯形面积的差,进而可以用定积分求出面积,为了确定被积函数和积分的上､下限,我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.[评析]本题若选用横坐标x为积分变量,则平面图形的面积为;若选用纵坐标y为积分变量,则平面图形的面积为可见,以y为积分变量,不如以x为积分变量简单.231(23)xxdx190132(0)().22yydyydy2.分割计算典例2.如下图,计算由直线y=x-4,曲线及x轴所围图形的面积.[分析]通常是以x为积分变量,把所求平面图形分割成两部分S_1和S_2,分别求面积,再求和.其实,解答本题还可以以y为积分变量,此时y为自变量,x为函数值,被积函数应为x=g(y).2yx3.巧用图形关系典例3计算由直线x=1,x=-1及y=0,y=|x|所围成图形的面积.[评析]如上图,所围成图形的面积即是图中阴影部分的面积,根据图形的对称关系,可知所求面积为右边图形阴影部分面积的2倍.