【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习 第五章 第一节 数列的概念与简单表示法课件

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法基础盘查一数列的有关概念(一)循纲忆知了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n项和)(二)小题查验1．判断正误(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列()(2)同一个数在数列中可以重复出现()(3)an与{an}是不同的概念()(4)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的()×√√×2．(人教A版教材例题改编)写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－12，13，－14；an＝－1n＋1n(2)2,0,2,0.an＝(－1)n＋1＋1基础盘查二数列的表示方法(一)循纲忆知1．了解数列三种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)；2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．(二)小题查验1．判断正误(1)数列是一种特殊的函数()(2)毎一个数列都可用三种表示法表示()(3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn()2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an2an＋3，则a5等于____．√×√1161基础盘查三数列的分类(一)循纲忆知了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等)．(二)小题查验1．(人教B版教材例题改编)已知函数f(x)＝x－1x，设an＝f(n)(n∈N*)，则{an}是______数列(填“递增”或“递减”)递增2．对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2…)”是“{an}为递增数列”的___________条件．充分不必要考点一由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[提醒]不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一．[题组练透]1．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝0，n为奇数，1，n为偶数，②an＝1＋－1n2，③an＝1＋cosnπ2，④an＝sinnπ2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④解析：检验知①②③都是所给数列的通项公式．2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)，n∈N*.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×1nn＋1，n∈N*.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝a，n为奇数，b，n为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N*.[类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．考点二由an与Sn的关系求通项an(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]数列的前n项和通常用Sn表示，记作Sn＝a1＋a2＋…＋an，则通项an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.[提醒]若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示．[典题例析]已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.[类题通法]已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．[演练冲关]已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也适合于此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以an＝6，n＝1，2·3n－1＋2，n≥2.考点三由递推关系式求数列的通项公式(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]递推公式：如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．[多角探明]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如an＋1＝anf(n)，求an；(2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an；(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.(4)形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)，求an.角度一：形如an＋1＝anf(n)，求an1．在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.求数列{an}的通项公式．解：由题设知，a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1.∴anan－1＝n＋1n－1.∴anan－1＝n＋1n－1，…，a4a3＝53，a3a2＝42，a2a1＝3.以上n－1个式子的等号两端分别相乘，得到ana1＝nn＋12.又∵a1＝1，∴an＝nn＋12.角度二：形如an＋1＝an＋f(n)，求an2．(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋1nn＋1，求数列{an}的通项公式．(2)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．解：(1)由题意，得an＋1－an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1n－1－1n＋1n－2－1n－1＋…＋12－13＋1－12＋2＝3－1n.(2)由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.角度三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.角度四：形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)，求an4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2，求数列{an}的通项公式．解：∵an＋1＝2anan＋2，a1＝1，∴an≠0，∴1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，又a1＝1，则1a1＝1，∴1an是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，∴an＝2n＋1(n∈N*)．[类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三、四)转化为特殊数列求通项．