【优化方案】2012高三数学一轮复习 第3章3.4简单的三角恒等变换课件 文 北师大版

§3.4简单的三角恒等变换考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§3.4简单的三角恒等变换双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝____________.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝__________＝1－2sin2α.(3)tan2α＝__________(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2，k∈Z)．2sinαcosα2cos2α－12tanα1－tan2α(4)二倍角余弦公式的变形sin2α＝__________，cos2α＝1＋cos2α2.以上公式通常称为降幂公式．2．半角公式(不要求记忆)(1)用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2sin2α2＝_________；1－cos2α21－cosα2cos2α2＝1＋cosα2；tan2α2＝________.(2)用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2sinα2＝±1－cosα2；cosα2＝±1＋cosα2；1－cosα1＋cosαtanα2＝__________.(3)用sinα，cosα表示tanα2tanα2＝sinα1＋cosα＝_________.1－cosα1＋cosα1－cosαsinα你能用tanα2表示sinα，cosα吗？思考感悟提示：sinα＝2sinα2cosα2＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2.cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2sin2α2＋cos2α2＝1－tan2α21＋tan2α2.答案：D课前热身1．(教材习题改编)下列各式中，值为12的是()A．sin15°cos15°B．2cos2π12－1C.1＋cos30°2D.tan22.5°1－tan222.5°答案：B2．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知sinα＝23，则cos(π－2α)等于()A．－53B．－19C.19D.533．(2011年江门质检)已知sin10°＝a，则sin70°等于()A．1－2a2B．1＋2a2C．1－a2D．a2－1答案：A4．若sinθ2－2cosθ2＝0，则tanθ＝________.答案：－435．已知sin(π4－x)＝35，则sin2x的值为________．答案：725考点探究•挑战高考考点突破运用倍、半角公式求值利用倍、半角公式求值的关键在于转化，将未知向已知转化或将非特殊角转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数而得解．求值：(1)1－2sin222.5°；(2)已知tan(π＋2α)＝－43(其中α为第二象限角)，求tanα的值．4．若sinθ2－2cosθ2＝0，则tanθ＝________.例1【思路点拨】逆用倍角公式求值．【解】(1)1－2sin222.5°＝cos45°＝22.(2)∵tan(π＋2α)＝－43，∴tan2α＝－43，∴2tanα1－tan2α＝－43，∵α是第二象限角，∴tanα0，∴tanα＝－12.【名师点评】在运用倍角、半角公式求值时，应注意二倍角公式与两角和公式的内在联系，准确理解倍角公式中角度之间的“二倍”关系，这样有助于我们灵活运用公式进行化简求值．对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法．三角函数式的化简(1)将f(θ)表示成关于cosθ的多项式；(2)a∈R，试求使曲线y＝acosθ＋a与曲线y＝f(θ)至少有一个交点时a的取值范围．已知函数f(θ)＝－12＋sin5θ22sinθ2(0θπ)．例2【思路点拨】本题以函数形式给出三角函数式，第(1)问实质上是化简三角函数式，第(2)问可让两曲线方程右端相等，得方程有解既可．【解】(1)f(θ)＝－12＋sin2θ·cosθ2＋cos2θ·sinθ22sinθ2＝－12＋4cos2θ2·cosθ·sinθ2＋cos2θ·sinθ22sinθ2＝－12＋4cos2θ2·cosθ＋cos2θ2＝－12＋4cosθ·1＋cosθ2＋2cos2θ－12＝2cos2θ＋cosθ－1.(2)由2cos2θ＋cosθ－1＝acosθ＋a，得(cosθ＋1)(2cosθ－1)＝a(cosθ＋1)．∵0θπ，∴cosθ≠－1，∴cosθ＋1≠0.∴cosθ＝a＋12，∴－1a＋121，∴－3a1.【规律小结】三角函数式化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．1．证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等．三角函数式的证明2．证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等．求证：sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1sin2x＝tanx2.例3【思路点拨】最后要证明的实际上就是sinx2cosx2，而等式的左端的角有x,2x，那么就要根据倍角公式把x,2x逐步化归到x2.【证明】法一：sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1sin2x＝sinx＋1－2sin2x2－1sinx－1＋2sin2x2＋1sin2x＝2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x24sinx2cosx2cosx＝cosx2－sinx2cosx2＋sinx2·sinx2cosx2cosx＝cos2x2－sin2x2sinx2cosx2·cosx＝cosx·sinx2cosx2·cosx＝tanx2.法二：sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1sin2x＝[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1]sin2x＝sin2x－cosx－12sin2x＝sin2x－cos2x＋2cosx－1sin2x＝1－cos2x－cos2x＋2cosx－1sin2x＝2cosx－2cos2xsin2x＝2cosx1－cosx2sinxcosx＝1－cosxsinx＝2sin2x22sinx2cosx2＝sinx2cosx2＝tanx2.【名师点评】证明三角恒等式时要注意观察分析函数名称、角在恒等式两端的异同，这样才能确定变换的方向．三角恒等式的证明一般方法较多，要善于选择最简捷的方法进行证明．变式训练证明：sin3xsin3x＋cos3xcos3x＝cos32x.证明：左边＝sin3xsinx·12(1－cos2x)＋cos3xcosx·12(1＋cos2x)＝12(cos3xcosx＋sin3xsinx)＋12cos2x·(cos3xcosx－sin3xsinx)＝12cos2x＋12cos2xcos4x＝12cos2x·(1＋cos4x)＝cos32x＝右边．方法技巧1．三角恒等变形可以归纳为以下三步(1)找到差异：主要是指角、函数名称和运算间的差异；(2)抓住联系：即利用有关公式，建立差异间的联系；(3)促进转化：就是灵活选择公式，促使差异转化，以达到简化统一的目的．(如例2)方法感悟2．化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．(如例3)3．三角恒等式的证明实质上也是一个化简过程，因此我们仍然要注意三角恒等变换思想方法的灵活运用．不同于化简求值问题的地方是化简不是随意化简，而是要等于等式的另一端，因此在化简过程中，必须强化“目标意识”，也就是每化简一步要尽量向其目标靠拢．(如例3)解决给式(值)求值问题要注意以下几点：(1)注意整体思想在解题中的应用；(2)注意观察和分析问题中各角之间的内在联系，把待求角用已知角表示出来；(3)注意条件中角的范围对三角函数值的制约作用，确定所涉及的每一个角的范围，以免出现增、漏解．失误防范考情分析考向瞭望•把脉高考二倍角公式是高考的热点，考查重点是利用二倍角公式求值，求角的大小，与三角函数的求值、化简交汇命题，既有小题，又有解答题，难度为中档，主要考查公式的灵活运用及恒等变形能力．预测2012年高考仍将以二倍角公式在三角恒等变形中的应用为主要考点，重点考查转化化归的数学思想．规范解答(本题满分12分)(2010年高考天津卷)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值．例【解】(1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6).3分所以函数f(x)的最小正周期为π.4分因为f(x)＝2sin(2x＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f(0)＝1，f(π6)＝2，f(π2)＝－1，所以函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.6分(2)由(1)可知f(x0)＝2sin(2x0＋π6)．又因为f(x0)＝65，所以sin(2x0＋π6)＝35.由x0∈[π4，π2]，得2x0＋π6∈[2π3，7π6].9分从而cos(2x0＋π6)＝－1－sin22x0＋π6＝－45.10分所以cos2x0＝cos[(2x0＋π6)－π6]＝cos(2x0＋π6)cosπ6＋sin(2x0＋π6)sinπ6＝3－4310.12分【名师点评】(1)本题易失误的是：①三角变换公式不熟，没有掌握变换技巧，不能灵活而准确地化简函数式；②忽略区间[0，π2]，误得最小值为－2；③忽略x的范围，不能正确求出cos2x0的值．(2)三角函数的求值、化简与证明的难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式；其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、化简与证明的方法．突破这两个难点的关键是：①要熟练灵活运用如下公式：a．两角和与差的三角函数：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.b．二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.c．降幂公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2.d．辅助角公式：Asinx＋Bcosx＝a2＋b2·sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.②要把握三角函数的求值、化简与证明的常用技巧．名师预测已知函数f(x)＝2sinx4cosx4－23sin2x4＋3.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令g(x)＝f(x＋π3)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．解：(1)∵f(x)＝sinx2＋3(1－2sin2x4)＝sinx2＋3cosx2＝2sin(x2＋π3)，∴f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.当sin(x2＋π3)＝－1时，f(x)取得最小值－2；当sin(x2＋π3)＝1时，f(x)取得最大值2.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(x2＋π3)，又g(x)＝f(x＋π3)，∴g(x)＝2sin[12(x＋π3)＋π3]＝2sin(x2＋π2)＝2cosx2.∵g(－x)＝2cos(－x2)＝2cosx2＝g(x)，∴函数g(x)是偶函数．