【三维设计】2013版高中数学 第一部分 1.1.1 正弦定理课件 新人教A版必修5

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章解三角形考点一考点二考点三第1部分问题2：试计算asinA，bsinB，csinC的值，三者有何关系？提示：asinA＝2，bsinB＝3sin60°＝2，csinC＝2，三者的值相等．提示：∠B＝60°，∠C＝90°，a＝1，b＝3.如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2，问题1：△ABC的其他边和角为多少？提示：是．如图sinA＝ac，∴asinA＝c.sinB＝bc，∴bsinB＝c.∵sinC＝1，∴asinA＝bsinB＝csinC.问题4：若是锐角三角形，或是钝角三角形，上述结论还成立吗？提示：都成立．问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.2．解三角形一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边、、叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做．asinA＝bsinB＝csinCabc解三角形对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．[例1]在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，求C、a、b.[思路点拨]由三角形的内角和为180°可求C，根据正弦定理可求a，b.[精解详析]在△ABC中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝23＋14.根据正弦定理，得a＝csinAsinC＝2sin60°sin75°＝2×3223＋14＝6(3－1)，b＝csinBsinC＝2sin45°sin75°＝2×2223＋14＝2(3－1)．[一点通]已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路是(1)由三角形的内角和定理求出第三个角；(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．1．已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，则角B的对边长等于________．解析：∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由正弦定理b＝asinBsinA＝20sin105°sin30°＝40sin(45°＋60°)＝10(6＋2)．答案：10(6＋2)2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，解此三角形．解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由正弦定理bsinB＝asinA，得b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46.由asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1).[例2]在△ABC中，已知a＝2，c＝6，C＝π3，求A，B，b.[思路点拨]由c＞a可得A为锐角，由正弦定理求出sinA，从而求出角A，再由内角和定理求出角B，正弦定理求得b.[精解详析]∵asinA＝csinC，∴sinA＝asinCc＝22.∵c＞a，∴C＞A.∴A＝π4.∴B＝5π12，b＝csinBsinC＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.[一点通]已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．3．若把本例中C＝π3改为A＝π4，其他条件不变，求C，B，b.解：∵6sinπ4＜2＜6，∴本题有两解．∵asinA＝csinC，∴sinC＝csinAa＝32.∴C＝π3或2π3.当C＝π3时，B＝5π12，b＝asinBsinA＝3＋1.当C＝2π3时，B＝π12，b＝asinBsinA＝3－1.4．在△ABC中，已知a＝2，b＝1，A＝45°，解此三角形．解：由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝1×222＝12.∵a＞b，∴A＞B，B为锐角，B＝30°.C＝180°－(A＋B)＝105°.由正弦定理asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝2×sin105°sin45°＝6＋22.[例3](12分)在△ABC中，若sinA＝2sinB·cosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．[思路点拨]首先利用正弦定理将角的关系式sin2A＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，进而判断三角形的形状．[精解详析]法一：设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(2分)∵sin2A＝sin2B＋sin2C.∴(ksinA)2＝(ksinB)2＋(ksinC)2.∴a2＝b2＋c2.∴A＝90°，B＋C＝(6分)由sinA＝2sinBcosC，得sin90°＝2sinBcos(90°－B)，∴sin2B＝12.(10分)∵B是锐角，∴sinB＝22，∴B＝45°，C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．(12分)法二：同解法一，求得A＝90°.(6分)∵A＝π－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC．(8分)∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.∴B－C＝0，即B＝C.(11分)∴△ABC是等腰直角三角形．(12分)[一点通](1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．(2)判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．5．若本题条件中“sinA＝2sinB·cosC”改为“bsinB＝csinC”，其他条件不变，结果如何？解：由本例解法知A＝90°，由bsinB＝csinC可得sin2B＝sin2C，∴sinB＝sinC.由A＝90°知，B、C均为锐角．∴B＝C.故△ABC为等腰直角三角形．6．在△ABC中，若acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状．解：由正弦定理，设asinA＝bsinB＝k，则a＝ksinA，b＝ksinB，∴由acosA＝bcosB，得：sinAcosA＝sinBcosB.即sin2A＝sin2B.∵2A、2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B或2A－π＝2π－2B.即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．1．正弦定理是解三角形的重要工具，已知两角和任一边，或已知两边和其中一边的对角均可以利用正弦定理解三角形，应用正弦定理时，要注意定理的变式和解的情况的讨论．2．已知三角形两边及其中一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a＝bsinA②a≥bbsinA＜a＜ba＜bsinAa＞ba≤b解的个数一解两解无解一解无解