高中数学--解析几何初步-233-空间两点间的距离公式练习-北师大版必修2

3．3空间两点间的距离公式时间：45分钟满分：80分一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，则A，B两点间的距离为()A.61B．25C．5D.57答案：C解析：|AB|＝＋2＋－2＋－2－2＝5.2．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则△ABC为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对答案：A解析：由两点间的距离公式，得|AB|＝2，|BC|＝3，|AC|＝1，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC为直角三角形．3．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为()A．19B．－87C.87D.1914答案：C解析：|AB|＝x－2＋－2x2＋x－2＝14x2－32x＋19＝14x－872＋57，∴当x＝87时，|AB|最小．4．在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)的距离相等的点有()A．1个B．2个C．不存在D．无数个答案：D解析：在坐标平面xOy内，设点P(x，y,0)，依题意得x－2＋y－2＋25＝x－2＋y－52＋1，整理得y＝－12，x∈R，所以符合条件的点有无数个．5．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，则点P的轨迹是()A．圆B．直线C．球面D．线段答案：C解析：(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到点(2，－1,3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面．6．已知A(1,2，－1)，B(1，t，t)(t∈R)，则|AB|的最小值为()A.92B．5C.5D.322答案：D解析：∵|AB|＝t－2＋t＋2＝2t2－2t＋5，∴当t＝12时，|AB|min＝322.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知点P32，52，z到线段AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.答案：0或－4解析：由中点坐标公式，得线段AB中点的坐标为12，92，－2.又点P到线段AB中点的距离为3，所以32－122＋52－922＋[z－－2＝3，解得z＝0或z＝－4.8．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________．答案：101解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝－2＋－2＋＋2＝101.9．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是____________．答案：(0，－1,0)解析：设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.∴M(0，－1,0)．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求MN的长．解：以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2，∴N(1,0,1)，M12，12，2.由两点间的距离公式，得|MN|＝1－122＋0－122＋－2＝62，∴MN的长为62.11．已知三点A(－1,1,2)，B(1,2，－1)，C(a,0,3)，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。解：AB＝－1－2＋－2＋＋2＝14，AC＝－1－a2＋－2＋－2＝a＋2＋2，BC＝－a2＋－2＋－1－2＝a－2＋20，因为BC＞AB，所以，若A，B，C三点共线，有BC＝AC＋AB或AC＝BC＋AB，若BC＝AC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程无解；若AC＝BC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程也无解．所以不存在实数a，使A、B、C共线．12.如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标O－xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；(2)当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，探究PQ的最小值；解：由已知A(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0，a，a)，B(0,0，a)，(1)当点P为对角线AB的中点时，点P坐标为(a2，a2，a2)，设Q(0，a，z)，则PQ＝z－a22＋a22，当z＝a2时，PQ取到最小值为22a，此时Q为CD的中点．(2)当点Q为棱CD的中点时，点Q的坐标为(0，a，a2)，设AP∶AB＝k，则xp＝a(1－k)，yp＝a(1－k)，zP＝ak，所以p点的坐标为(a(1－k)，a(1－k)，ak)，所以PQ＝3a2k－122＋a22，当k＝12，即P为AB的中点时，PQ取到最小值22a.