清华微积分(高等数学)课件第五讲 导数与微分(一)

2020/2/51P59习题3.1作业预习P60—67.P70—788.9(3)(6).11(2)(6).12.13.2020/2/52第五讲导数与微分（一）二、导数定义与性质五、基本导数（微分）公式一、引言三、函数的微分四、可导、可微与连续的关系2020/2/53一、引言两个典型背景示例[例1]运动物体的瞬时速度设汽车沿t轴作直线运动,若己知其运动规律(路程与时间的函数关系)为求在时刻的瞬时速度.)(txx0t0tttt0t2020/2/54[解]的平均速度到求时段ttt00)1(ttxttxttv)()(),(000速度平均速度的极限是瞬时)2(ttxttxtvt)()(lim)(0000如果极限存在,这个极限值就是质点的瞬时速度.2020/2/55[例2]曲线的切线斜率问题)).(,(),(),,(].,[)()()(,000000xfyyxMLbaxbaCxfbxaxfyL其中的切线在点求曲线其方程为设曲线什麽是曲线的切线？2020/2/56xyo0MN0xxx0T)(:xfyL的极限位置就是切线割线时当,0MN割线切线2020/2/57xxfxxfxkx)()(lim)(0000xxfxxfxxk)()(),(000的割线斜率到求区间xxx00)1(斜率割线斜率的极限是切线)2())(()(000xxxkxfy的切线方程在点曲线),()3(000yxML2020/2/5800,),(.,,)()(limlim.)(00000000xxxxxxdxdydxdfxfxfxfxxfxxfxyxxfy记作的导数在极限值为函数并称此可导在则称函数存在如果极限某邻域有定义的在点设函数二、导数定义与性质1.导数定义：2020/2/59[注意1]导数的等价定义：hxfhxfxfh)()(lim)(0000000)()(lim)(0xxxfxfxfxxxxfxxfxfx)()(lim)(00002020/2/510)()(00tstv瞬时速度：)()(00xfxk切线斜率：.))(,()()(0000处切线的斜率在点是曲线导数xfxMxfyxf)()(xmx线密度：[注意2]导数的意义：物理意义几何意义导数是函数在一点的变化率2020/2/511例:线密度问题.,处细杆的线密度求在断面成的细杆设有一根由某种物质做MABABMxxo)(xmAM的质量是设Nxx)()(xmxxmMN的质量为平均线密度xxmxxm)()(xxmxxmxx)()(lim)(02020/2/512)()()(lim0000xfxxfxxfx左导数)()()(lim0000xfxxfxxfx右导数2.单侧导数定义：)()()(,00000xfxfxfxfxf存在即等左、右导数都存在且相的在可导在点函数定理：左可导在0xf右可导在0xf2020/2/5133.导函数定义：.),(,),(上可导在开区间则称可导上处处在开区间若函数bafbaf.],[,,,),(上可导在闭区间则称左可导在点右可导且在点上可导在开区间若函数bafbabaf.),(,的导函数称为上定义了一个新的函数则在区间上可导在区间若函数fxfIIf2020/2/514三、函数的微分导数是从函数对自变量变化的速度来研究;而微分则是直接研究函数的增量，这有许多方便之处。（一）函数的微分的定义.)()()()(.)(00000可微在点则称函数的增量可表示成在点如果的某邻域有定义在点设函数xfxoxxAxfxxfxxf.0的微分在点称为函数线性函数xfxA2020/2/515.)(,]1[000的线性函数是微分时当确定点注意xxxxdfx.)()(,)()(,]2[0000的高阶无穷小是其误差的近似值增量可作为微分很小时当注意xxdfxfxfxdfx部”微分是增量的“线性主xAdyxAxdfxx0)(0或记作2020/2/516xxfxdfxfxAxxxf)()()()(,,)()1(000000即且必可微点则它在处可导在点函数四、可导、可微与连续的关系定理1:函数可微与可导是等价的)()(,,)()2(0000xAxfxxxf且必可导点则它在处可微在点函数2020/2/517即可导在点设,)(0xxf)()(lim000xfxxfx量的关系知由有极限函数与无穷小)1()()(00oxfxxf)()()(00xoxxfxf[证](1))()(,)(000xfxAxxf且可微在点即2020/2/518可微在点设函数0)(xxf)0()()()(00xxoxxAxf)()()(lim)(lim)(000000xAxxoxxAxxfxfxx[证](2))()(,)(000xAxfxxf且可导在点即2020/2/519.,00连续在则可导在若函数xfxf定理2：[证])(lim000xfxyxfx可导在xxxxfy)()(00lim0yx连续在0xf[注意]可导必连续,连续不一定可导！)()(0xoxxf2020/2/520.0][与可导性处的连续性在点研究函数例xxy得到一个改变量给,00xx1limlim)0(00xxxyfxx1limlim)0(00xxxyfxx不可导在0xxyxxy00[解]连续)0(0xy2020/2/521oxxy尖点2020/2/522的可导性在研究例0)(][31xxxf3231)(1)()0()0(xxxxfxfxy32)(1limlim00xxyxx[解]不可导在0)(31xxxfx31xyOy有铅垂切线2020/2/523)0(,0,00,1sin][yxxxxy求例xxxxyxx1sinlim01sinlim)0(00[解]振荡不存在！)0(y2020/2/5240,00,1sin2xxxxy若01sinlim01sinlim)0(020xxxxxyxx则2020/2/525xyo0MNQ)(xfydyy0xxx0xTPdyxfxtgQMPQ)(00微分的几何意义微分三角形2020/2/526.))(,()(00000的纵坐标增量处的切线在点就是曲线微分TMxfxMxfydyxx.,,0“以直代曲”—曲线用切线近似代替附近在点即很小时当xdyyx2020/2/5270)()1(C1)()2(xxxxsin)(cos)8(xxcos)(sin)7(axxaln1)(log)6(xx1)(ln)5(aaaxxln)()4(xxee)()3(五、基本导数（微分）公式xxx22cos1sec)(tan)9(xxx22sin1csc)(cot)10(2020/2/528xxxtansec)(sec)11(xxxcotcsc)(csc)12(211)(arcsin)13(xx211)(arccos)14(xx211)(arctan)15(xx211)cot()16(xxarc2020/2/529)67(.,)()(Pxxfxdf见讲义：微分基本公式得到由导数基本公式便可以故根据微分基本公式2020/2/530.)()(]1[的导数在为常数求例xCCxfy得到以增量给,)1(xx0)()(CCxfxxfy求增量比)2(00xxy取极限得令,0)3(x0lim0xyx5.利用定义求导的例子[解]0)(C公式2020/2/5312sin)2sin(2cos)cos(xxxxxxyxxxxyxxxxsinsin)2sin(limlim2200.cos)(]2[的导数在求例xxxf[解]22sin)2sin(xxxxxyxxsin)(cos公式xxcos)sin(公式2020/2/532)1ln(ln)ln(xxxxxyxx1)(ln公式.ln)(]3[的导数在求例xxxf[解]xxxxxxxxxy)1ln()1ln(1xxyx1lim0axxaln1)(log公式2020/2/533)1(xxxxxaaaayxxee)(公式.)(]5[的导数在求例xaxfx[解]xaaxyxx1aaxaaxyxxxxxln1limlim00aaaxxln)(公式2020/2/534问题：如何求其他函数的导数？基本导数公式导数运算法则其他基本初等函数初等函数四则复合反函数隐函数参数方程对数微分法