清华数学实验实验三探月卫星速度

1/15实验三:探月卫星速度计算问题背景与数据处理椭圆周长的近似计算实验任务与操作思考题与练习题2/15长征三号甲运载火箭提供给卫星在近地点的速度大约为10.3（km/s）。这一速度不足以将卫星送往月球,需要提速到10.9（km/s）才能使卫星奔向月球。为了达到奔月速度，中国航天工程师使用了卫星变轨调速技术············中国探月工程2007年10月24日18时05分，中国第一颗探月卫星嫦娥一号在西昌卫星发射中心发射升空。卫星进入的初始轨道是周期为16小时的地球同步轨道。3/154/15轨道名称近地点距离h远地点距离H(16小时)初始轨道200km51000km16小时轨道600km51000km24小时轨道600km71400km48小时轨道600km128000km116小时（地月转移）轨道600km370000km5/15卫星轨道长度计算近地点距离h=200km,远地点距离H=51000km,地球半径R=6378km.卫星绕地球一周16小时我国探月卫星的初始轨道周长:椭圆:x=acosty=bsint0≤t≤2/2222204sincosLatbtdtp=+ò问题1:椭圆长半轴a=?椭圆短半轴b=?问题2:椭圆周长L=?6/15近地点距离h=200km,远地点距离H=51000km,地球半径R=6378km椭圆长半轴:原始数据处理椭圆半焦距:椭圆短半轴:22bac=-椭圆偏心率:22cabeaa-==(2)/2ahHR=++()/2cHh=-7/152/02222cossin4dttbtaLtbtatbta22222222cos)cos1(cossintbaa2222cos)(tca222cos]cos1[2222taca]cos1[222tea2/022cos14dtteaL椭圆周长所以]643411[242eeaL近似计算8/15taylor(f,n,x)—n-1次麦克劳林多项式展开例3.21求椭圆积分近似表达式symste2xf=sqrt(1-e2*x)F=taylor(f,3,x)g=subs(F,x,cos(t)^2)int(g,0,pi/2)ans=1/2*pi-1/8*e2*pi-3/128*e2^2*pi/22201cosetdtp-ò/222240131cos12464etdteepp骣÷ç-?-?ç÷ç÷桫ò9/15运载火箭提供给卫星的速度到底是多少？h=200;H=51000;R=6378;%输入重要数据a=(h+H+2*R)/2;c=(H-h)/2;%计算长半轴和半焦距e1=c/a;b=sqrt(a*a-c*c);%计算离心率和短半轴T=16*3600;S1=a*b*pi/T;symse2t%定义两个符号变量f=sqrt(1-e2*cos(t)^2);%定义符号表达式ft=subs(f,e2,e1*e1);%替换离心率数据S=int(ft,0,pi/2);%计算积分L=4*a*double(S)%符号数据转换为数值V=L/T%计算平均速度Vmax=2*S1/(R+h)Vmax=10.302310/15开普列(Kepler)——天上的立法者行星运动第一定律:行星在通过太阳的平面内沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。又叫“轨道定律”。行星运动第二定律:行星在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的联线所扫过的面积相等。又叫“面积定律”。行星运动第三定律:太阳系内所有行星公转周期的平方同行星轨道半长径的立方之比为一常数，这一定律也叫“调和定律”。11/15根据开普列第二定律,从地球到卫星的向径在单位时间内扫过相等面积.所以,卫星在近地点速度达到最大,在远地点速度达到最小.设轨道周期为T1SabTp=向径每秒钟扫过的面积Vmax:=2*S1/(R+h)Vmin:=2*S1/(R+H)11()2hSRhl?11()2HSRHl?三角形底边做为速度近似值近地点地球远地点Hh12/15轨道名称近地点距离h远地点距离H初始轨道200km51000km16小时轨道600km51000km24小时轨道600km71400km48小时轨道600km128000km116小时轨道600km370000km实验任务:计算轨道周长和卫星平均速度最大速度13/15%实验参考程序R=6378;h=[200,600,600,600,600];H=[51000,51000,71000,128000,370000];a=(h+H+2*R)/2;c=(H-h)/2;E2=(c./a).^2;L=2*pi*a.*(1-E2/4-3*E2.^2/64)Times=[16,16,24,48,116]*3600;V0=L./Timesb=sqrt(a.*a-c.*c);S=a.*b.*pi./Times;Vmax=2*S./(R+h)Vmin=2*S./(R+H)%近地距离%远地距离%长半轴%椭圆周长%运行周期%平均速度%最大速度%最小速度14/15Vmax=10.30,10.06,10.21,11.27,21.18max2()abVTRhp»+max2()abTVhRp»+设计各轨道最大速度为:10.3010.4510.6010.7510.90各轨道周期=？设各轨道周期:16,16,24,48,11615/15R=6378;h=[200,600,600,600,600];H=[51000,51000,71000,128000,370000];a=(h+H+2*R)/2;c=(H-h)/2;E2=(c./a).^2;b=sqrt(a.*a-c.*c);Vmax=linspace(10.3,10.9,5);bar(Vmax,'c')S=a.*b.*pi;Times=2*S./Vmax./(R+h)/3600Times=16.0015.4123.1350.36225.4116/15练习题与思考题1.简述开普列第一定律和第二定律的内容;2.变轨过程中几个轨道的周期是否是准确的？3.卫星运行速度与第一、第二宇宙速度相比如何？4.卫星运行最大速度在变轨过程中的变化规律？5.地月转移轨道的周期是否是116小时？6.说明面积计算公式12LSydxxdy=-+òÑ的根据，并证明椭圆面积公式Sabp=17/15functionsatel1()R=6378;h=[200,600,600,600,600];H=[51000,51000,71000,128000,370000];a=(h+H+2*R)/2;c=(H-h)/2;b=sqrt(a.*a-c.*c);t=linspace(-pi,pi,500);x=a'*cos(t);y=b'*sin(t);s=c-c(1);s(2)=-s(2);S=s'*ones(size(t));x=S+x;X=x';Y=y';figure(1),plot(X,Y,'k',-c(1),0,'ob')X=reshape(X,2500,1);Y=reshape(Y,2500,1);figure(2),comet(X,Y)18/15-0.500.511.522.533.54x105-1-0.500.51x105-0.500.511.522.533.54x105-1-0.500.51x105